1. (教材 P64 练习 3 变式)(2025·湖北)如图，$□ ABCD$的对角线交点在原点$O$。若点$A$的坐标是$(-1,2)$，则点$C$的坐标是(
C
)
A.$(2,-1)$
B.$(-2,1)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,-2)$
答案：1.C
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，对角线交点在原点$O$，
∴点$A$与点$C$关于原点对称。
∵点$A$的坐标是$(-1,2)$，
∴点$C$的坐标是$(1,-2)$。
C
2. 亮点原创·如图，在$□ ABCD$中，将$\triangle ADC$沿$AC$折叠后，点$D$恰好落在$DC$延长线上的点$E$处。若$\angle BAD=120^{\circ}$，$AB=3$，则$\triangle ADE$的周长为(
C
)
A.12
B.15
C.18
D.21
答案：2.C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB=CD=3$，$AD=BC$，$\angle BAD=120°$，$AD// BC$，$AB// CD$，
∴$\angle ADC=180°-\angle BAD=60°$。
由折叠性质得：$\triangle ADC\cong\triangle AEC$，
∴$AD=AE$，$CD=CE=3$，$\angle ADC=\angle AEC=60°$，
∴$DE=CD+CE=6$，$\triangle ADE$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
∴$AD=AE=DE=6$，
∴$\triangle ADE$的周长为$AD+AE+DE=6+6+6=18$。
答案：C
3. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$在边$BC$上运动，连接$AE$，$DE$，以$AE$，$DE$为邻边作$□ AEDF$。当点$E$从点$B$向点$C$运动时，$□ AEDF$的面积将
不变
。(填“增大”“减小”或“不变”)
答案：3.不变
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$。
∵四边形$AEDF$是平行四边形，
∴$□AEDF$的面积$=2S_{\triangle ADE}$。
∵$AD// BC$，点$E$在$BC$上运动，
∴点$E$到$AD$的距离（即$\triangle ADE$中$AD$边上的高）不变。
又
∵$AD$的长度不变，
∴$S_{\triangle ADE}$不变，
∴$□AEDF$的面积不变。
不变
4. 新素养
运算能力如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$是对角线$AC$上两点，连接$DE$，$DF$。若$AE=EF=CD$，$\angle ADF=90^{\circ}$，$\angle BCD=63^{\circ}$，则$\angle ADE$的度数是
21°
。
答案：4.21°
解析：
证明：设$\angle ADE = x$。
在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$AD = BC$，$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle BCD = 180^{\circ}-63^{\circ}=117^{\circ}$。
设$AE = EF = CD = a$，在$Rt\triangle ADF$中，$E$为$AF$中点，$\therefore DE = AE = EF = a$，$\therefore \angle DAE=\angle ADE = x$，$\angle DEC = 2x$。
$\because DE = CD = a$，$\therefore \angle DCE=\angle DEC = 2x$。
$\angle ADC=\angle ADE+\angle EDC = x+(180^{\circ}-2×2x)=117^{\circ}$，即$x + 180^{\circ}-4x=117^{\circ}$，解得$x = 21^{\circ}$。
$\angle ADE=21^{\circ}$
21°
5. (2025·四川宜宾)如图，$E$是$□ ABCD$边$CD$的中点，连接$AE$并延长，交$BC$的延长线于点$F$，$AD=5$。求证：$\triangle ADE\cong\triangle FCE$，并求$BF$的长。
答案：5.因为四边形ABCD是平行四边形，AD=5，所以BC//AD，BC=AD=5，即∠DAE=∠F，∠D=∠FCE.又E是CD的中点，所以CE=DE.所以△ADE≌△FCE(AAS).所以FC=AD=5，即BF=BC+FC=10.
解析：
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$AD=5$，
∴ $BC // AD$，$BC=AD=5$，
∴ $\angle DAE = \angle F$，$\angle D = \angle FCE$。
∵ $E$ 是 $CD$ 的中点，
∴ $CE=DE$。
在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle FCE$ 中，
$\begin{cases}\angle DAE = \angle F \\\angle D = \angle FCE \\DE = CE\end{cases}$
∴ $\triangle ADE \cong \triangle FCE$（AAS）。
∵ $\triangle ADE \cong \triangle FCE$，
∴ $FC=AD=5$，
∴ $BF=BC+FC=5+5=10$。
答：$BF$ 的长为 $10$。
6. 如图，过平行四边形$ABCD$的对角线$BD$上一点$M$分别作平行四边形两邻边的平行线$EF$与$GH$，则图中的平行四边形$AEMG$的面积$S_1$与平行四边形$HCFM$的面积$S_2$的大小关系是(
C
)
A.$S_1＞S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1=S_2$
D.$2S_1=S_2$
答案：6.C
易错警示
掌握平行四边形被对角线所分的两个三角形面积相等是解题的关键.
7. (2025·江苏苏州期末)如图，在$□ ABCD$中，$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC=2$，$BD=\sqrt{12}$。过点$A$作$AE⊥ BC$，交$BC$于点$E$。若$BE$的长为$x$，$BC$的长为$y$，则$xy$的值为(
B
)
A.1
B.2
C.3
D.无法求出
答案：7.B
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=1$，$BO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{3}$，$AD// BC$，$AD=BC=y$。
过点$O$作$OF⊥ BC$于点$F$，则$OF// AE$，且$OF=\frac{1}{2}AE$，$EF=FC=\frac{y-x}{2}$，
∴$BF=BE+EF=x+\frac{y-x}{2}=\frac{x+y}{2}$。
设$AE=2h$，则$OF=h$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AE^2=AB^2-BE^2$，即$4h^2=AB^2-x^2$。
在$Rt\triangle OFB$中，$OF^2+BF^2=BO^2$，即$h^2+(\frac{x+y}{2})^2=(\sqrt{3})^2$。
在$Rt\triangle AEC$中，$AE^2+EC^2=AC^2$，即$4h^2+(y-x)^2=2^2$。
联立得：$AB^2-x^2+(y-x)^2=4$，且$h^2=\frac{3-(\frac{x+y}{2})^2}{1}$。
又
∵$AB^2=4h^2+x^2$，代入化简得$xy=2$。
答案：B
