2026年亮点给力提优课时作业本八年级数学下册苏科版第35页解析答案

8. 如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$两点分别在边$AD$，$CD$上。将$□ ABCD$先沿$BE$折叠，点$A$落在线段$BF$上的点$A'$处，再沿$BF$折叠，点$C$落在点$E$处。若$EF⊥ EA'$，则$\angle A=$

126°

。

答案：8.126°

9. 如图，将$□ ABCD$沿对角线$AC$翻折，点$B$落在点$E$处，$CE$交$AD$于点$F$。若$\angle B=80^{\circ}$，$\angle ACE=2\angle ECD$，$FC=a$，$FD=b$，则$□ ABCD$的周长为

4a+2b

。(用含$a$，$b$的代数式表示)

答案：9.4a+2b

解析：

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB// CD$，$AD=BC$，$AB=CD$，$\angle B=\angle D=80°$，$\angle BCD=180°-\angle B=100°$。
由翻折性质得：$\angle ACB=\angle ACE$。设$\angle ECD=x$，则$\angle ACE=2x$，$\angle ACB=2x$。
∵$\angle BCD=\angle ACB+\angle ACE+\angle ECD=2x+2x+x=5x=100°$，
∴$x=20°$，即$\angle ECD=20°$，$\angle ACE=40°$。
∵$AD// BC$，
∴$\angle DAC=\angle ACB=40°$，
∴$\angle DAC=\angle ACE=40°$，故$FC=AF=a$。
∵$AD=AF+FD=a+b$，$CD=FC=a$（$\angle DFC=180°-\angle D-\angle ECD=80°=\angle D$，等角对等边），
∴平行四边形$ABCD$的周长为$2(AD+CD)=2[(a+b)+a]=4a+2b$。
答案：$4a+2b$

10. 新趋势推导探究问题：如图，在$□ ABCD$中，$AB=8$，$AD=5$，$\angle DAB$，$\angle ABC$的平分线$AE$，$BF$分别与直线$CD$交于$E$，$F$两点，求$EF$的长。
答案：$EF=2$。
探究：
（1）把“问题”中的条件“$AB=8$”去掉，其余条件不变。
① 当点$E$与点$F$重合时，求$AB$的长，
② 当点$E$与点$C$重合时，求$EF$的长；
（2）把“问题”中的条件“$AB=8$，$AD=5$”去掉，其余条件不变，当$C$，$D$，$E$，$F$四点每相邻两点间的距离相等时，求$\frac{AD}{AB}$的值。

答案：
10.(1)①如图①，因为四边形ABCD是平行四边形，AD=5，所以AB//CD，AB=CD，BC=AD=5，即∠DEA=∠EAB.因为AE平分∠DAB，所以∠DAE=∠EAB，即∠DAE=∠DEA.所以DE=AD=5.同理，得CF=BC=5.因为点E与点F重合，所以AB=CD=DE+CF=10.

②如图②，当点E与点C重合时，同(1)①，得DE=AD=5，CF=BC=5，所以点F与点D重合，即EF=DE=5.
(2)由(1)，得AB=CD，AD=BC，AD=DE，CF=BC.由C，D，E，F四点每相邻两点间的距离相等，分类讨论如下：①如图③，当DE=EF=CF时，AD=DE=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{1}{3}$AB，即$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$；
②如图④，当DF=FE=CE时，AD=DE=2DF，AB=CD=3DF，即$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$；③如图⑤，当FD=DC=CE时，AD=DE=2DC，AB=DC，所以$\frac{AD}{AB}$=2.综上，$\frac{AD}{AB}$的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$或2.

11. 如图，点$E$在$□ ABCD$的内部，$EB⊥ BC$，$ED⊥ CD$，且$\angle EAB=45^{\circ}$，连接$CE$。有下列结论：① $\angle ADE=\angle ABE$；② $\angle DAE=\angle DCE$；③ $BE=DA$；④ 当$\angle DAB=60^{\circ}$时，$CE=2AE$。其中，正确的是

①②③④

。(填序号)

答案：
11.①②③④ 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AD=BC，∠DAB=∠BCD，∠ADC=∠ABC.因为EB⊥BC，ED⊥CD，所以∠CBE=∠CDE=90°.所以∠ADC - ∠CDE=∠ABC - ∠CBE，即∠ADE=∠ABE.故①正确；如图，延长DE交AB于点F.因为AB//CD，ED⊥CD，所以DF⊥AB.所以∠BFE=∠DFA=90°.因为∠EAB=45°，所以易得△AEF是等腰直角三角形.所以EF=AF.所以△BFE≌△DFA(AAS).所以BE=DA.故③正确；因为AD=BC，所以BE=BC.又∠CBE=90°，所以△CBE是等腰直角三角形.所以∠BCE=45°.所以∠EAB=∠BCE.所以∠DAB - ∠EAB=∠BCD - ∠BCE，即∠DAE=∠DCE.故②正确；当∠DAB=60°时，∠ABE=∠ADE=90° - ∠DAB=30°，所以BE=2EF.因为△AEF和△CBE都是等腰直角三角形，所以易得AE=$\sqrt{2}$EF，CE=$\sqrt{2}$BE.所以CE=2AE.故④正确.综上，正确的是①②③④.

12. 已知四边形$ABCD$是平行四边形，$E$是$□ ABCD$内部一点，且$\triangle ABE$是等边三角形，连接$DE$，过点$C$作$CF⊥ DE$于点$F$。
（1）如图①，若$\angle DCF=\angle DAE$，求$\angle ADE$的度数；
（2）如图②，若$F$是$DE$的中点，过点$E$作$EM⊥ DE$，交$BC$于点$M$，$N$是$BC$上一点，且$BN=CM$，连接$EN$，求证：$BM=CM+EM$。

答案：
12.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，△ABE是等边三角形，所以AB//CD，∠BAE=60°.所以∠ADC+∠BAD=180°.因为CF⊥DE，所以∠CDF+∠DCF=90°.因为∠DCF=∠DAE，所以∠ADC+∠BAD=∠ADE+∠CDF+∠DAE+∠BAE=∠ADE+(∠CDF+∠DCF)+∠BAE=180°，即∠ADE+90°+60°=180°.所以∠ADE=30°.
(2)如图，连接CE.因为F是DE的中点，CF⊥DE，所以CD=CE，∠DCF=∠ECF.因为四边形ABCD是平行四边形，△ABE是等边三角形，所以AB=BE=CD=CE，AB//CD，∠ABE=60°.所以∠EBC=∠ECB，∠ABC+∠DCB=180°.所以∠ABE+∠EBC+∠ECB+∠DCF+∠ECF=180°，即60°+2∠ECB+2∠ECF=180°.所以∠FCB=∠ECF+∠ECB=60°.又BN=CM，所以△EBN≌△ECM(SAS).所以EN=EM.因为EM⊥DE，所以CF//EM.所以∠FCB=∠EMN.所以∠EMN=60°.所以△EMN是等边三角形.所以EM=MN.所以BM=BN+MN=CM+EM.