1. (2025·江苏常州期末)若 $ a = \sqrt{2} + 1 $，$ b = \sqrt{2} - 1 $，则 $ \sqrt{ab} ( \sqrt{\dfrac{a}{b}} - \sqrt{\dfrac{b}{a}} ) $ 的值为(
A
)
A.2
B.-2
C.$ \sqrt{2} $
D.$ 2\sqrt{2} $
答案：1.A
解析：
$\begin{aligned}&\sqrt{ab}(\sqrt{\dfrac{a}{b}} - \sqrt{\dfrac{b}{a}})\\=&\sqrt{ab}·\sqrt{\dfrac{a}{b}} - \sqrt{ab}·\sqrt{\dfrac{b}{a}}\\=&\sqrt{ab·\dfrac{a}{b}} - \sqrt{ab·\dfrac{b}{a}}\\=&\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}\\=&|a| - |b|\end{aligned}$
因为$a = \sqrt{2} + 1 ＞ 0$，$b = \sqrt{2} - 1 ＞ 0$，所以$|a| = a$，$|b| = b$，则原式$=a - b$。
$a - b = (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2$
A
2. (教材 P172 习题 6 变式)若 $ a = 3 + 2\sqrt{2} $，$ b = 3 - 2\sqrt{2} $，则 $ a^{2}b + ab^{2} $ 的值是(
A
)
A.6
B.$ 4\sqrt{2} $
C.$ 2\sqrt{2} $
D.17
答案：2.A
解析：
$a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b)$，
$a + b = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$，
$ab = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^{2} - (2\sqrt{2})^{2} = 9 - 8 = 1$，
原式$= 1×6 = 6$。
A
3. 若 $ (2 + 2\sqrt{2}) * (1 + \sqrt{2}) $ 的结果是有理数，则 * 表示的符号为
÷
.(填“+”“-”“×”“÷”)
答案：3.÷
解析：
$(2 + 2\sqrt{2}) ÷ (1 + \sqrt{2})$
$=\frac{2(1 + \sqrt{2})}{1 + \sqrt{2}}$
$=2$，结果是有理数。
÷
4. 亮点原创 满足不等式 $ \sqrt{3}(x - 2) ＞ \sqrt{18} - \sqrt{12} $ 的 $ x $ 的最小整数值为
3
.
答案：4.3
解析：
$\sqrt{3}(x - 2) ＞ \sqrt{18} - \sqrt{12}$
$\sqrt{3}(x - 2) ＞ 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
$x - 2 ＞ \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$x - 2 ＞ \sqrt{6} - 2$
$x ＞ \sqrt{6}$
$\sqrt{6}\approx2.449$，$x$的最小整数值为$3$
3
5. 计算：
（1）（2024·甘肃白银）$ \sqrt{18} - \sqrt{12} × \sqrt{\dfrac{3}{2}} $；
（2）$ \sqrt{27} ÷ \dfrac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} $；
（3）$ \dfrac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{\dfrac{1}{3}} × \sqrt{12} $.
答案：5.(1)原式=$\sqrt{18}-\sqrt{18}=0$.
(2)原式=$\sqrt{27} × \frac{2}{\sqrt{3}} × 2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=2\sqrt{9} × 2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=12\sqrt{2}-6\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.
(3)原式=$\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{3}}{3} × 2\sqrt{3}=3-2=1$.
6. 先化简，再求值：$ 2(a + \sqrt{3})(a - \sqrt{3}) - a(a - 6) + 6 $，其中 $ a = \sqrt{2} - 1 $.
答案：6.原式=$2(a^2-3)-a^2+6a+6=2a^2-6-a^2+6a+6=a^2+6a$.又$a=\sqrt{2}-1$，所以原式=$(\sqrt{2}-1)^2+6(\sqrt{2}-1)=3-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}-6=4\sqrt{2}-3$.
解析：
解：原式$=2(a^2 - (\sqrt{3})^2) - a^2 + 6a + 6$
$=2(a^2 - 3) - a^2 + 6a + 6$
$=2a^2 - 6 - a^2 + 6a + 6$
$=a^2 + 6a$
当$a = \sqrt{2} - 1$时，
原式$=(\sqrt{2} - 1)^2 + 6(\sqrt{2} - 1)$
$=(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 1 + 6\sqrt{2} - 6$
$=2 - 2\sqrt{2} + 1 + 6\sqrt{2} - 6$
$=(2 + 1 - 6) + (-2\sqrt{2} + 6\sqrt{2})$
$=-3 + 4\sqrt{2}$
$=4\sqrt{2} - 3$
7. (2025·江苏常州期末)已知 $ y = \sqrt{5} - 2 $，则代数式 $ (9 + 4\sqrt{5})y^{2} + (\sqrt{5} + 2)y + \sqrt{5} $ 的值是(
C
)
A.0
B.$ \sqrt{5} $
C.$ 2 + \sqrt{5} $
D.$ 2 - \sqrt{5} $
答案：7.C
解析：
已知$ y = \sqrt{5} - 2 $，则$ y + 2 = \sqrt{5} $，两边平方得$ (y + 2)^2 = 5 $，即$ y^2 + 4y + 4 = 5 $，整理得$ y^2 = 1 - 4y $。
将$ y^2 = 1 - 4y $代入代数式：
$\begin{aligned}&(9 + 4\sqrt{5})y^2 + (\sqrt{5} + 2)y + \sqrt{5}\\=&(9 + 4\sqrt{5})(1 - 4y) + (\sqrt{5} + 2)y + \sqrt{5}\\=&9 - 36y + 4\sqrt{5} - 16\sqrt{5}y + \sqrt{5}y + 2y + \sqrt{5}\\=&(9 + 4\sqrt{5} + \sqrt{5}) + (-36y + 2y) + (-16\sqrt{5}y + \sqrt{5}y)\\=&9 + 5\sqrt{5} - 34y - 15\sqrt{5}y\end{aligned}$
又因为$ y = \sqrt{5} - 2 $，所以$ -34y - 15\sqrt{5}y = -y(34 + 15\sqrt{5}) = -(\sqrt{5} - 2)(34 + 15\sqrt{5}) $，计算得：
$\begin{aligned}-(\sqrt{5} - 2)(34 + 15\sqrt{5})&= -[34\sqrt{5} + 15×5 - 68 - 30\sqrt{5}]\\&= -[4\sqrt{5} + 75 - 68]\\&= -[4\sqrt{5} + 7]\\&= -4\sqrt{5} - 7\end{aligned}$
则原式$ = 9 + 5\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 7 = 2 + \sqrt{5} $
C
8. (2024·重庆 B 卷)估计 $ \sqrt{12} × (\sqrt{2} + \sqrt{3}) $ 的值应在(
C
)
A.8 和 9 之间
B.9 和 10 之间
C.10 和 11 之间
D.11 和 12 之间
答案：8.C
解析：
$\begin{aligned}\sqrt{12} × (\sqrt{2} + \sqrt{3}) &= 2\sqrt{3} × \sqrt{2} + 2\sqrt{3} × \sqrt{3} \\&= 2\sqrt{6} + 2 × 3 \\&= 2\sqrt{6} + 6.\end{aligned}$
因为$\sqrt{6} \approx 2.449$，所以$2\sqrt{6} \approx 4.898$，则$2\sqrt{6} + 6 \approx 10.898$，其值在10和11之间。
C
9. 新素养
推理能力 (2025·江苏无锡期末)若 $ \sqrt{a} + \sqrt{b} = 1 $，$ \sqrt{a} = m + \dfrac{a - b}{2} $，$ \sqrt{b} = n - \dfrac{a - b}{2} $，其中 $ m $，$ n $ 均为有理数，则下列结论正确的是(
B
)
A.$ mn = \dfrac{1}{2} $
B.$ m^{2} + n^{2} = \dfrac{1}{2} $
C.$ m + n = \dfrac{1}{2} $
D.$ m - n = \dfrac{1}{2} $
答案：9.B
解析：
设$\sqrt{a}=x$，$\sqrt{b}=y$，则$x + y = 1$，$a = x^{2}$，$b = y^{2}$。
$x = m+\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2}=m+\dfrac{(x - y)(x + y)}{2}$，因为$x + y = 1$，所以$x = m+\dfrac{x - y}{2}$，整理得$2x=2m+x - y$，即$m=\dfrac{x + y}{2}=\dfrac{1}{2}$。
$y = n-\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2}=n-\dfrac{(x - y)(x + y)}{2}$，同理可得$y = n-\dfrac{x - y}{2}$，整理得$2y=2n - x + y$，即$n=\dfrac{x + y}{2}=\dfrac{1}{2}$。
$m^{2}+n^{2}=(\dfrac{1}{2})^{2}+(\dfrac{1}{2})^{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$。
B
10. 若 $ 3 - \sqrt{2} $ 的整数部分为 $ a $，小数部分为 $ b $，则代数式 $ (2 + \sqrt{2}a) · b $ 的值是
2
.
答案：10.2
解析：
解：因为$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，则$3 - 2 ＜ 3 - \sqrt{2} ＜ 3 - 1$，即$1 ＜ 3 - \sqrt{2} ＜ 2$，所以$a = 1$，$b=3 - \sqrt{2}-1=2 - \sqrt{2}$。
$(2+\sqrt{2}a)· b=(2+\sqrt{2}×1)×(2 - \sqrt{2})=(2+\sqrt{2})(2 - \sqrt{2})=2^{2}-(\sqrt{2})^{2}=4 - 2=2$。
2
11. 已知 $ a + b = 2 + \sqrt{3} $，$ ab = \sqrt{3} $，则 $ a - b = $
$\pm \sqrt{7}$
.
答案：11.$\pm \sqrt{7}$
易错警示
注意一个正数的平方根有两个。
