12. 如图，矩形内 3 个相邻正方形的面积分别为 4、3 和 2，则图中阴影部分的面积为
$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$
.
答案：12.$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$
13. 已知整数 $ x $，$ y $ 满足 $ x\sqrt{y} + y\sqrt{x} - \sqrt{2025x} - \sqrt{2025y} + \sqrt{2025xy} = 2025 $，求 $ \sqrt{x - y} $ 的最小值.
答案：13.原式可化为$\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{2025})=\sqrt{2025}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{2025})$，所以$\sqrt{xy}=\sqrt{2025}$，即$xy=2025$.因为要求$\sqrt{x-y}$的最小值，所以当$x \geq y$，且$x,y$的值相差最小时，取最小值.又$x,y$均为整数，且$2025=45 × 45$，所以当$x=45,y=45$时，$\sqrt{x-y}$取得最小值，此时最小值为$\sqrt{45-45}=0$.
14. 将一张正方形纸片按如图所示步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中 $ FM $，$ GN $ 是折痕.若正方形 $ EFGH $ 与五边形 $ MCNGF $ 的面积相等，则 $ \dfrac{FM}{GF} $ 的值是(
A
)
A.$ \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2} $
B.$ \sqrt{2} - 1 $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
答案：14.A 解析：连接$HF,GE$交于点$O$.设正方形$ABCD$的边长为$2a$.由折叠的性质，得$OM=CN=a$.因为正方形$EFGH$与五边形$MCNGF$的面积相等，所以$S_{\mathrm{正方形}EFGH}=\frac{1}{5}S_{\mathrm{正方形}ABCD}=\frac{4}{5}a^2$.所以正方形$EFGH$的边长$GF=\frac{2\sqrt{5}}{5}a$.由勾股定理，易得$OF=\frac{\sqrt{2}}{2}GF=\frac{\sqrt{10}}{5}a$，所以$FM=OM-OF=a-\frac{\sqrt{10}}{5}a$.所以$\frac{FM}{GF}=\frac{a-\frac{\sqrt{10}}{5}a}{\frac{2\sqrt{5}}{5}a}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{2}$.
15. 已知 $ 1 ＜ x ＜ 2 $，且 $ \dfrac{1}{x - 1} + x = 7 $，则 $ \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}} - \sqrt{x - 1} $ 的值是
2
.
答案：15.2 解析：因为$(\frac{1}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1})^2}=\frac{1}{x-1}+x-1-2=\frac{1}{x-1}+x-3$，$\frac{1}{x-1}+x=7$，所以$(\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1})^2=4$.又$1＜x＜2$，所以$0＜\frac{1}{\sqrt{x-1}}＜1$，即$\frac{1}{\sqrt{x-1}}＞\sqrt{x-1}$.所以$\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}＞0$，即$\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}=2$.
解析：
设$ t = \frac{1}{\sqrt{x - 1}} - \sqrt{x - 1} $，则$ t^2 = ( \frac{1}{\sqrt{x - 1}} - \sqrt{x - 1} )^2 = \frac{1}{x - 1} + (x - 1) - 2 $。
因为$ \frac{1}{x - 1} + x = 7 $，所以$ \frac{1}{x - 1} + (x - 1) = 7 - 1 = 6 $。
则$ t^2 = 6 - 2 = 4 $，即$ t = \pm 2 $。
又因为$ 1 ＜ x ＜ 2 $，所以$ 0 ＜ x - 1 ＜ 1 $，则$ \sqrt{x - 1} ＜ 1 $，$ \frac{1}{\sqrt{x - 1}} ＞ 1 $，故$ \frac{1}{\sqrt{x - 1}} - \sqrt{x - 1} ＞ 0 $，所以$ t = 2 $。
$2$
16. 新趋势 情境素材 （2025·江苏扬州期末）已知两个二次根式：$ \sqrt{x + 1} $，$ \sqrt{x} (x \geqslant 0) $，将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将 $ \sqrt{x + 1} $ 与 $ \sqrt{x} $ 的和记为 $ M_{1} $，差记为 $ N_{1} $；
第二次操作：将 $ M_{1} $ 与 $ N_{1} $ 的和记为 $ M_{2} $，差记为 $ N_{2} $；
第三次操作：将 $ M_{2} $ 与 $ N_{2} $ 的和记为 $ M_{3} $，差记为 $ N_{3} ··· ··· $以此类推.
根据以上材料，解答下列问题：
（1）当 $ x = 1 $ 时，求 $ N_{2} + N_{4} + N_{6} + N_{8} $ 的值；
（2）求 $ M_{12} $（用含 $ x $ 的代数式表示）；
（3）求证：$ M_{2n + 1} · N_{2n + 1} = 2^{2n} $（$ n $ 为自然数）.
答案：16.由题意，得$M_1=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$，$N_1=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$，$M_2=2\sqrt{x+1}$，$N_2=2\sqrt{x}$，$M_3=2\sqrt{x+1}+2\sqrt{x}$，$N_3=2\sqrt{x+1}-2\sqrt{x}$，$M_4=4\sqrt{x+1}$，$N_4=4\sqrt{x}··· ···$所以$M_{2n+1}=2^n\sqrt{x+1}+2^n\sqrt{x}$，$N_{2n+1}=2^n\sqrt{x+1}-2^n\sqrt{x}$，$M_{2n+2}=2^{n+1}\sqrt{x+1}$，$N_{2n+2}=2^{n+1}\sqrt{x}$($n$是自然数).
(1)因为$N_{2n+2}=2^{n+1}\sqrt{x}$($n$是自然数)，所以$N_2=2\sqrt{x}$，$N_4=4\sqrt{x}$，$N_6=8\sqrt{x}$，$N_8=16\sqrt{x}$，即$N_2+N_4+N_6+N_8=2\sqrt{x}+4\sqrt{x}+8\sqrt{x}+16\sqrt{x}=30\sqrt{x}$.又$x=1$，所以$N_2+N_4+N_6+N_8=30$.
(2)因为$M_{2n+2}=2^{n+1}\sqrt{x+1}$($n$是自然数)，所以$M_{12}=2^6\sqrt{x+1}=64\sqrt{x+1}$.
(3)因为$M_{2n+1}=2^n\sqrt{x+1}+2^n\sqrt{x}$，$N_{2n+1}=2^n\sqrt{x+1}-2^n\sqrt{x}$，所以$M_{2n+1} · N_{2n+1}=(2^n\sqrt{x+1}+2^n\sqrt{x}) · (2^n\sqrt{x+1}-2^n\sqrt{x})=2^{2n} · [(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2]=2^{2n} · (x+1-x)=2^{2n}$.
