11. 已知$3\sqrt{x}+5\sqrt{y}=15$，$m = 5\sqrt{x}-3\sqrt{y}$，则$m$的取值范围是
$-9\leq m\leq25$
.
答案：11.$-9\leq m\leq25$ 解析：因为$3\sqrt{x}+5\sqrt{y}=15$，所以$\sqrt{x}=5-\frac{5\sqrt{y}}{3}$.因为$\sqrt{x}\geq0$，所以$5-\frac{5\sqrt{y}}{3}\geq0$，解得$\sqrt{y}\leq3$.又$\sqrt{y}\geq0$，所以$0\leq\sqrt{y}\leq3$.又$m=5\sqrt{x}-3\sqrt{y}=5(5-\frac{5\sqrt{y}}{3})-3\sqrt{y}=25-\frac{34\sqrt{y}}{3}$.
所以当$\sqrt{y}=0$时，$m=25$；当$\sqrt{y}=3$时，$m=-9$.所以$m$的取值范围是$-9\leq m\leq25$.
12. 计算：
(1) $\frac{2}{3}\sqrt{27}-4\sqrt{12}+3\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2) $\sqrt{108}+\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{3}{25}}-\sqrt{32}$；
(3) $\sqrt{8}+3\sqrt{\frac{1}{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(4) $(4b\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{2}{a}\sqrt{a^{3}b})-(3a\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{9ab})(a\gt0,b\gt0)$.
答案：12.(1)原式$=2\sqrt{3}-8\sqrt{3}+\sqrt{3}=-5\sqrt{3}$.
(2)原式$=6\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{5}-4\sqrt{2}=\frac{31\sqrt{3}}{5}-\frac{7\sqrt{2}}{2}$.
(3)原式$=2\sqrt{2}+3×\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
(4)原式$=4b·\frac{\sqrt{ab}}{b}+\frac{2}{a}· a\sqrt{ab}-3a·\frac{\sqrt{ab}}{a}=4\sqrt{ab}+2\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}=0$.
13. 先化简，再求值：$(6x\sqrt{\frac{y}{x}}+\frac{3}{y}\sqrt{xy^{3}})-(4y\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{36xy})$，其中$x=\frac{3}{2}$，$y = 27$.
答案：13.原式$=6\sqrt{xy}+3\sqrt{xy}-4\sqrt{xy}-6\sqrt{xy}=-\sqrt{xy}$.当$x=\frac{3}{2},y=27$时，原式$=-\sqrt{\frac{3}{2}×27}=-\sqrt{\frac{81}{2}}=-\frac{9\sqrt{2}}{2}$.
14. 已知整数$x$，$y$满足$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=\sqrt{50}$，则整数对$(x,y)$的个数是(
D
)
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案：14.D 解析：因为$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，所以$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=5\sqrt{2}$.令$\sqrt{x}=a\sqrt{2},\sqrt{y}=b\sqrt{2}$（$a,b$为自然数），所以$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=a\sqrt{2}+2b\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，即$a+2b=5$.所以$a=1,b=2$或$a=3,b=1$或$a=5,b=0$，共3种情况.当$a=1,b=2$时，$x=2,y=8$；当$a=3,b=1$时，$x=18,y=2$；当$a=5,b=0$时，$x=50,y=0$.综上，整数对$(x,y)$的个数为3.
15. 新素养
几何直观 俊俊和霞霞合做将一张长为$\sqrt{2}$、宽为$1$的矩形纸片进行裁剪(共裁剪三次)，裁剪出来的图形刚好是$4$个等腰三角形(纸张无剩余).霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是$1$.”俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是$\sqrt{2}-1$.”那么另外两个等腰三角形的腰长可能是
$\sqrt{2},2-\sqrt{2}$或$1,1$
.
答案：15.$\sqrt{2},2-\sqrt{2}$或$1,1$ 解析：按图①方式裁剪，另外两个等腰三角形的腰长分别是$2-\sqrt{2},\sqrt{2}$；按图②方式裁剪，另外两个等腰三角形的腰长分别是$1,1$.
16. 新趋势 推导探究 观察下列各式：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{2}{\sqrt{5}-1}$，$\frac{\sqrt{8}-2}{2}-\frac{2}{\sqrt{8}-2}$，$\frac{\sqrt{13}-3}{2}-\frac{2}{\sqrt{13}-3}$，$\frac{\sqrt{20}-4}{2}-\frac{2}{\sqrt{20}-4}$……
(1) 计算以上各式；
(2) 以上各式存在一定的规律，请按此规律写出第$5$个式子及其结果；
(3) 用含$n$（$n$为正整数）的代数式表示第$n$个式子及其结果，并给出证明的过程.
答案：16.(1)$\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}=-1$；
$\frac{\sqrt{8}-2}{2}-\frac{2}{\sqrt{8}-2}=\frac{\sqrt{8}-2}{2}-\frac{\sqrt{8}+2}{2}=-2$；
$\frac{\sqrt{13}-3}{2}-\frac{2}{\sqrt{13}-3}=\frac{\sqrt{13}-3}{2}-\frac{\sqrt{13}+3}{2}=-3$；
$\frac{\sqrt{20}-4}{2}-\frac{2}{\sqrt{20}-4}=\frac{\sqrt{20}-4}{2}-\frac{\sqrt{20}+4}{2}=-4$.
(2)第5个式子为$\frac{\sqrt{29}-5}{2}-\frac{2}{\sqrt{29}-5}$，其结果为$-5$.
(3)第$n$个式子为$\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{2}-\frac{2}{\sqrt{n^2+4}-n}$，其结果为$-n$. 证明如下：$\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{2}-\frac{2}{\sqrt{n^2+4}-n}=\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{2}-\frac{\sqrt{n^2+4}+n}{2}=-n$.
