1. 若两个相似三角形的相似比为 $2:3$，则面积比为
4 : 9
；若两个相似多边形的面积比为 $1:4$，则相似比为
1 : 2
.
答案：4：9
1：2
2. 一个三角形的各边扩大为原来的 $4$ 倍，则所得三角形的面积扩大为原来的
16
倍.
答案：16
3. 若 $\triangle ABC$ 三边的中点分别为 $D$、$E$、$F$，则 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 周长的比为
2 : 1
，面积的比为
4 : 1
.
答案：2：1
4：1
4. 在 $\triangle ABC$ 中，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，那么 $\triangle ADE$ 与四边形 $DBCE$ 的面积之比为
1 : 3
.
答案：1：3
5. 一个三角形的三边之比为 $2:3:4$，和它相似的另一个三角形的最大边等于 $16$，则其最小边等于
8
，周长等于
36
.
答案：8
36
6. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$DE// FG// BC$，$AD:DF:FB = 1:2:3$，则 $S_{\triangle ADE}:S_{\mathrm{四边形}DFGE}:S_{\mathrm{四边形}FBGG}=$
1 : 8 : 27
.
答案：1. 首先，根据相似三角形的性质：
因为$DE// FG// BC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle AFG\sim\triangle ABC$。
已知$AD:DF:FB = 1:2:3$，则$AD:AF:AB=(AD):(AD + DF):(AD + DF+FB)=1:(1 + 2):(1 + 2+3)=1:3:6$。
2. 然后，根据相似三角形面积比公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$（对于相似三角形$\triangle MNP$与$\triangle M'N'P'$，若相似比为$k=\frac{MN}{M'N'}$，则$\frac{S_{\triangle MNP}}{S_{\triangle M'N'P'}}=k^{2}$）：
对于$\triangle ADE$和$\triangle AFG$，相似比$k_1=\frac{AD}{AF}$，由$AD:AF = 1:3$，根据$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle AFG}}=(\frac{AD}{AF})^{2}$，可得$S_{\triangle ADE}:S_{\triangle AFG}=1^{2}:3^{2}=1:9$。
对于$\triangle ADE$和$\triangle ABC$，相似比$k_2=\frac{AD}{AB}$，由$AD:AB = 1:6$，根据$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{AD}{AB})^{2}$，可得$S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=1^{2}:6^{2}=1:36$。
3. 接着，求四边形面积：
设$S_{\triangle ADE}=x$。
因为$S_{\triangle AFG}=9x$，所以$S_{四边形DFGE}=S_{\triangle AFG}-S_{\triangle ADE}=9x - x=8x$。
因为$S_{\triangle ABC}=36x$，所以$S_{四边形FBCG}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AFG}=36x - 9x = 27x$。
所以$S_{\triangle ADE}:S_{四边形DFGE}:S_{四边形FBCG}=1:8:27$。
故答案为$1:8:27$。
7. 若两个相似多边形的面积之比为 $1:4$，周长之差为 $6$，则这两个多边形的周长分别为
6和12
.
答案：6和12
8. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $M$ 在边 $BC$ 上，$AM$ 与 $BD$ 相交于点 $N$，且 $AM:NM = 4:1$.
(1) 写出图中的相似三角形及它们的相似比；
(2) 若 $CM = 2\ \mathrm{cm}$，求 $BC$ 和 $BM$ 的长.
答案：解： (1) △ADN∽△MBN，相似比为3： 1 ； △ABD∽△CDB，相似比为1 ： 1
(2)∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD//BC且AD=BC
∴∠ADN=∠MBN
∵∠AND=∠MNB
∴△ADN∽△MBN
∴$\frac {AD}{BM}=\frac {AN}{MN}$
∵AM：NM=4：1
∴$\frac {AD}{BM}=\frac {AN}{MN}=3$
∴BC=AD=3BM
∴CM= 2BM
∵$CM= 2\ \mathrm {cm}$
∴$BM=1\ \mathrm {cm}，$$BC=3\ \mathrm {cm}$
