6. 水务部门为加强防汛工作，决定对某水库进行加固.原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为10 m，∠B=60°，背水面DC的长度为10√3 m，加固后大坝的横断面为梯形ABED.若CE的长为5 m.
（1）已知需加固的大坝长为100 m，求需要土石方多少立方米；
（2）求新大坝背水面DE的坡度.（计算结果保留根号）
答案：6. (1) 需要土石方 $1250\sqrt{3}$ $m^{3}$. (2) 背水面 $DE$ 的坡度为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$
解析：
(1) 过点A作$AF⊥ BE$于点F，过点D作$DG⊥ BE$于点G。
在$Rt△ ABF$中，$∠ B=60°$，$AB=10\ \mathrm{m}$，
$\sin 60°=\frac{AF}{AB}⇒ AF=AB·\sin 60°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
故梯形ABCD的高$DG=AF=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$CE=5\ \mathrm{m}$，需加固部分为$△ DCE$，
$S_{△ DCE}=\frac{1}{2}× CE× DG=\frac{1}{2}×5×5\sqrt{3}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}^2$，
土石方体积$V=S_{△ DCE}×100=\frac{25\sqrt{3}}{2}×100=1250\sqrt{3}\ \mathrm{m}^3$。
(2) 在$Rt△ DGC$中，$DC=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$DG=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$GC=\sqrt{DC^2-DG^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-(5\sqrt{3})^2}=\sqrt{300-75}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$，
$EG=GC+CE=15+5=20\ \mathrm{m}$，
$DE$的坡度$i=\frac{DG}{EG}=\frac{5\sqrt{3}}{20}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。
(1) $1250\sqrt{3}\ \mathrm{m}^3$
(2) $\frac{\sqrt{3}}{4}$
自主拓展
如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15 m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°.假设汽车在高速道路上行驶时，周围39 m以内会受到噪声的影响.
（1）过点A作MN的垂线，垂足为H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪声开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪声的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1 m，参考数据：√3≈1.7）
答案：(1) 如图，连接 $PA$. 由题意知，$AP = 39$ m. 在 $Rt△ APH$ 中，$PH=\sqrt{AP^{2}-AH^{2}}=\sqrt{39^{2}-15^{2}}=36$(m)；
(2) 由题意知，隔音板的长度就是 $PQ$ 的长度.
在 $Rt△ ADH$ 中，$DH=\frac{AH}{\tan30^{\circ}}=15\sqrt{3}$(m).
在 $Rt△ CDQ$ 中，$DQ=\frac{CQ}{\sin30^{\circ}}=\frac{39}{\frac{1}{2}}=78$(m).
则 $PQ = PH + HQ = PH + DQ - DH = 36 + 78 - 15\sqrt{3}\approx114 - 15×1.7 = 88.5\approx89$(m).
答：高架道路旁安装的隔音板至少需要 $89$ m.
