1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，若 $ \cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，则 $ \sin A $ 的值为(
B
)
A.$ \sqrt{3} $
B.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
C.$ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ \dfrac{1}{2} $
答案：1. B
解析：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，则$∠ A+∠ B=90^{\circ}$，所以$∠ A=90^{\circ}-∠ B$。
因为$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且在直角三角形中，$\cos B=\dfrac{邻边}{斜边}$，又因为$\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，所以$∠ B=30^{\circ}$。
则$∠ A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，所以$\sin A=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
答案：B
2. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ a = 5 $，$ c = 13 $，则 $ \tan A $ 的值为(
A
)
A.$ \dfrac{5}{12} $
B.$ \dfrac{12}{13} $
C.$ \dfrac{5}{13} $
D.$ \dfrac{13}{5} $
答案：2. A
解析：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$a=5$，$c=13$。
由勾股定理得，$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
$\tan A=\dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{12}$。
A
3. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AB = 15 \, \mathrm{cm} $，$ \sin A = \dfrac{1}{3} $，则 $ BC $ 的长为(
B
)
A.$ 45 \, \mathrm{cm} $
B.$ 5 \, \mathrm{cm} $
C.$ \dfrac{1}{5} \, \mathrm{cm} $
D.$ \dfrac{1}{45} \, \mathrm{cm} $
答案：3. B
解析：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，根据正弦函数定义，$\sin A=\dfrac{BC}{AB}$。已知$AB=15\,\mathrm{cm}$，$\sin A=\dfrac{1}{3}$，则$\dfrac{BC}{15}=\dfrac{1}{3}$，解得$BC=15×\dfrac{1}{3}=5\,\mathrm{cm}$。
B
4. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AC = 12 $，$ AB $ 的垂直平分线 $ EF $ 交 $ AC $ 于点 $ D $，连接 $ BD $，若 $ \cos ∠ BDC = \dfrac{5}{7} $，则 $ BC $ 的长是(
D
)
A.$ 10 $
B.$ 8 $
C.$ 4\sqrt{3} $
D.$ 2\sqrt{6} $
答案：4. D
解析：
证明：设 $ CD = 5x $，$ BD = 7x $。
在 $ △ BCD $ 中，$ ∠ C = 90° $，由勾股定理得：
$ BC = \sqrt{BD^2 - CD^2} = \sqrt{(7x)^2 - (5x)^2} = \sqrt{24x^2} = 2\sqrt{6}x $
因为 $ EF $ 是 $ AB $ 的垂直平分线，所以 $ AD = BD = 7x $。
又因为 $ AC = 12 $，且 $ AC = AD + CD $，所以：
$ 7x + 5x = 12 $
$ 12x = 12 $
$ x = 1 $
因此，$ BC = 2\sqrt{6}x = 2\sqrt{6} × 1 = 2\sqrt{6} $。
答案：D
5. 如图，某河堤的横断面是梯形 $ ABCD $，$ BC // AD $，迎水坡 $ AB $ 长 $ 13 \, \mathrm{m} $，且 $ \tan ∠ BAE = \dfrac{12}{5} $，则河堤的高 $ BE $ 为
12
$ \mathrm{m} $。
答案：5. 12
解析：
解：在梯形 $ABCD$ 中，$BC // AD$，$BE$ 为河堤的高，所以 $∠ AEB = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，$\tan ∠ BAE = \dfrac{BE}{AE} = \dfrac{12}{5}$，设 $BE = 12k$，$AE = 5k$（$k ＞ 0$）。
由勾股定理得：$AB^2 = AE^2 + BE^2$，即 $13^2 = (5k)^2 + (12k)^2$。
$169 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2$，解得 $k^2 = 1$，$k = 1$（$k ＞ 0$）。
所以 $BE = 12k = 12 × 1 = 12\ \mathrm{m}$。
12
6. 如图，一艘轮船位于灯塔 $ P $ 的北偏东 $ 60° $ 方向上的 $ A $ 处，它沿正南方航行 $ 70 \, \mathrm{km} $ 后，到达位于灯塔 $ P $ 的南偏东 $ 30° $ 方向上的 $ B $ 处，这时，轮船所在的 $ B $ 处与灯塔 $ P $ 的距离是
$ 35\sqrt{3} $
$ \mathrm{km} $(结果保留根号)。
答案：6. $ 35\sqrt{3} $.
解析：
解：由题意得，∠APB=180°-60°-30°=90°，∠ABP=30°，AB=70km。
在Rt△APB中，cos∠ABP=BP/AB，
则BP=AB·cos30°=70×(√3/2)=35√3 km。
答：轮船所在的B处与灯塔P的距离是35√3 km。
7. 2024 年 10 月 30 日 04 时 27 分，“神舟十九号” 载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把蔡旭哲、宋令东、王浩泽三名航天员送入到中国空间站。如图，在发射的过程中，飞船从地面 $ O $ 处发射，当飞船到达 $ A $ 点时，从位于地面 $ C $ 处的雷达站测得 $ AC $ 的距离是 $ 8 \, \mathrm{km} $，仰角为 $ 30° $；$ 10 \, \mathrm{s} $ 后飞船到达 $ B $ 处，此时测得仰角为 $ 45° $。
（1）求点 $ A $ 离地面的高度 $ AO $；
（2）求飞船从 $ A $ 处到 $ B $ 处的平均速度。（结果精确到 $ 0.1 \, \mathrm{km/s} $，参考数据：$ \sqrt{3} \approx 1.73 $）
答案：7. (1) $ 4 \mathrm{ km} $；(2) 飞船从 $ A $ 处到 $ B $ 处的平均速度约为 $ 0.3 \mathrm{ km/s} $.
解析：
（1）在$Rt△ AOC$中，$∠ ACO=30°$，$AC=8\,\mathrm{km}$，$\sin∠ ACO=\frac{AO}{AC}$，则$AO=AC·\sin30°=8×\frac{1}{2}=4\,\mathrm{km}$。
（2）在$Rt△ AOC$中，$\cos∠ ACO=\frac{OC}{AC}$，$OC=AC·\cos30°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\,\mathrm{km}$。在$Rt△ BOC$中，$∠ BCO=45°$，$\tan∠ BCO=\frac{BO}{OC}$，$BO=OC·\tan45°=4\sqrt{3}×1=4\sqrt{3}\,\mathrm{km}$。$AB=BO - AO=4\sqrt{3}-4\approx4×1.73 - 4=6.92 - 4=2.92\,\mathrm{km}$，平均速度为$\frac{2.92}{10}\approx0.3\,\mathrm{km/s}$。
（1）$4\,\mathrm{km}$；（2）$0.3\,\mathrm{km/s}$
