4. 如图，AB是长为5 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）.（参考数据：sin37°≈$\frac{3}{5}$，tan37°≈$\frac{3}{4}$，sin65°≈$\frac{9}{10}$，tan65°≈$\frac{15}{7}$）
答案：4. 大楼 $CE$ 的高度约为 $14$ m
解析：
解：过点B作BF⊥AE于点F，
在Rt△ABF中，AB=5m，∠BAF=37°，
BF=AB·sin37°≈5×$\frac{3}{5}$=3m，
AF=AB·cos37°≈5×$\frac{4}{5}$=4m，
∵BD=AB=5m，且BD⊥CE，BF⊥AE，CE⊥AE，
∴四边形BDEF为矩形，
∴DE=BF=3m，EF=BD=5m，
在Rt△BCD中，∠CBD=65°，BD=5m，
CD=BD·tan65°≈5×$\frac{15}{7}$≈10.71m，
CE=CD+DE≈10.71+3≈14m.
答：大楼CE的高度约为14m.
自主探究
问题 如图，要在宽为28 m的海堤公路的路边安装路灯，路灯的灯臂长为3 m，且与灯柱成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直.当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想.问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？（结果精确到0.01 m，参考数据：√3≈1.732）
名师指导
由于图中有两个直角，所以可延长灯柱和轴线相交，构成两个直角三角形来求解.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：[自主探究]
本题可通过延长灯柱和灯罩轴线相交，构成两个直角三角形，利用三角函数关系来求解灯柱的高度。
### 步骤一：作辅助线并分析角度关系
延长灯柱 $OP$ 和灯罩轴线 $PQ$ 相交于点 $M$，过点 $Q$ 作 $QN⊥ OP$ 于点 $N$。
已知灯臂 $PQ = 3$ m，灯臂与灯柱成 $120^{\circ}$ 角，即 $∠ QPN = 120^{\circ}$，所以 $∠ QPM = 60^{\circ}$。
因为灯罩的轴线与灯臂垂直，所以 $∠ PQM = 30^{\circ}$。
### 步骤二：在$Rt△ PQM$中求$PM$和$QM$的长度
在 $Rt△ PQM$ 中，$\cos∠ QPM=\frac{PM}{PQ}$，$\sin∠ QPM=\frac{QM}{PQ}$。
已知 $PQ = 3$ m，$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $PM = PQ\cos60^{\circ}=3×\frac{1}{2}=1.5$ m，$QM = PQ\sin60^{\circ}=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ m。
### 步骤三：根据公路宽度求出$ON$的长度
因为公路宽为 $28$ m，灯罩的轴线通过公路路面的中线，所以 $ON = 14$ m。
又因为 $ON = QM$，所以 $QM = 14$ m。
### 步骤四：求出灯柱的高度$OP$
灯柱的高度 $OP = ON - PN$，在 $Rt△ PQM$ 中，$PN = PQ\sin30^{\circ}=3×\frac{1}{2}=1.5$ m。
所以 $OP = 14 - 1.5 = 12.5$ m。
综上，应设计约 $12.50$ m 高的灯柱，才能取得最理想的照明效果。
1. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(
B
)
A.斜坡AB的坡度是10°
B.斜坡AB的坡度是tan10°
C.AC=1.2tan10° m
D.AB=$\frac{1.2}{cos10°}$ m
答案：1. B
解析：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1.2m，∠BAC=10°。
坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜坡AB的坡度为$\frac{BC}{AC}=\tan10°$，故A错误，B正确；
$\tan10°=\frac{BC}{AC}$，则$AC=\frac{BC}{\tan10°}=\frac{1.2}{\tan10°}m$，C错误；
$\sin10°=\frac{BC}{AB}$，则$AB=\frac{BC}{\sin10°}=\frac{1.2}{\sin10°}m$，D错误。
B
2. 如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离AB为(
B
)
A.mcosα
B.$\frac{m}{cosα}$
C.msinα
D.$\frac{m}{sinα}$
答案：2. B
解析：
在坡角为$α$的直角三角形中，水平距离为邻边，坡面距离$AB$为斜边。
因为$\cosα=\frac{邻边}{斜边}=\frac{m}{AB}$，
所以$AB=\frac{m}{\cosα}$。
答案：B
