5. 如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20√2 n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50 n mile，又测得点B与小岛D相距20√5 n mile.
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）.
答案：5. (1) $\sin∠ ABD=\frac{\sqrt{5}}{5}$；(2) 小岛 $C$，$D$ 相距 $50$ n mile
解析：
（1）过点D作DE⊥AB于点E，由题意知∠DAE=45°，AD=20√2 n mile，所以AE=DE=AD·sin45°=20√2×√2/2=20 n mile。设BE=x n mile，在Rt△BDE中，DE²+BE²=BD²，即20²+x²=(20√5)²，解得x=40（负值舍去）。在Rt△BDE中，sin∠ABD=DE/BD=20/(20√5)=√5/5。
（2）由（1）知BE=40 n mile，AB=AE+BE=20+40=60 n mile。过点D作DF⊥BC于点F，则DF=BE=40 n mile，BF=DE=20 n mile，因为BC=50 n mile，所以CF=BC-BF=50-20=30 n mile。在Rt△CDF中，CD=√(DF²+CF²)=√(40²+30²)=50 n mile。
（1）√5/5；（2）50 n mile
自主拓展
为了加快山区经济的发展，准备修建一条通过小山的公路AD，经测量，如图所示，从坡底A到坡顶B的坡角是30°，斜坡AB长80 m，根据地形，要求修好后的公路路面的坡度是1：4（假设B，D两点在同一铅直线上），为减少工程开支，若BD≤20 m，就直接开挖修建公路；若BD＞20 m，就要重新设计.请你通过计算说明，这段公路是否需要重新设计？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）
答案：提示：$BD = 40 - 10\sqrt{3}＞20$，需重新设计
解析：
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=80m，
BC=AB·sin30°=80×$\frac{1}{2}$=40m，
AC=AB·cos30°=80×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$m。
在Rt△ACD中，坡度为1:4，即$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
CD=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{1}{4}$×40$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$m。
BD=BC - CD=40 - 10$\sqrt{3}$≈40 - 10×1.732=22.68m。
因为22.68＞20，所以需要重新设计。
1. 如图，已知一坡面的坡度i=1：√3，则坡角α为(
C
)
A.15°
B.20°
C.30°
D.45°
答案：1. C
解析：
解：坡度$i = \tanα = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\because \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore α = 30°$。
答案：C
2. 如图是手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是5√2 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是
5
m.
答案：2. 5
解析：
解：过点C作CE⊥AB于点E，
则∠BEC=90°，h=CE。
∵∠ABC=135°，
∴∠CBE=180°-135°=45°。
在Rt△BCE中，sin∠CBE=CE/BC，
即sin45°=h/(5√2)，
∵sin45°=√2/2，
∴h=5√2×√2/2=5。
答：上升的高度h是5m。
3. 如图，学校的保管室里，有一架5 m长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°；如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为
5/2(√2 + 1)
m.
答案：3. $\frac{5}{2}(\sqrt{2}+1)$
解析：
解：在梯子与地面成$45^{\circ}$角时，梯子长度为$5m$，则梯子底端到墙的距离（即$AO$）为$5\cos45^{\circ}=5×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
当梯子与地面成$60^{\circ}$角时，梯子底端到对面墙的距离（即$BO$）为$5\cos60^{\circ}=5×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
保管室的宽度$AB = AO + BO=\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{5}{2}=\frac{5}{2}(\sqrt{2}+1)$。
$\frac{5}{2}(\sqrt{2}+1)$
