1. 如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船的方向是(
D
)
A.南偏西35°
B.东偏西35°
C.南偏东55°
D.南偏东35°
答案：1. D
2. 如果灯塔A在灯塔B的东南方向的24 n mile处，灯塔C在灯塔B的西南方向的10 n mile处，灯塔A到灯塔C的距离是(
A
)
A.26 n mile
B.34 n mile
C.14 n mile
D.37 n mile
答案：2. A
解析：
灯塔A在灯塔B的东南方向，灯塔C在灯塔B的西南方向，所以∠ABC=90°。
AB=24 n mile，BC=10 n mile。
根据勾股定理，AC=$\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{24^2 + 10^2}=\sqrt{576 + 100}=\sqrt{676}=26$ n mile。
A
3. 如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4 n mile/h的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2 h后相遇在点P处，则乙货船每小时航行
2√2
n mile.
答案：3. $2\sqrt{2}$
解析：
解：过点P作PC⊥AB于点C，设乙货船的速度为$v$ n mile/h。
甲货船行驶2 h的路程：$AP = 4×2 = 8$ n mile。
乙货船行驶2 h的路程：$BP = 2v$ n mile。
在Rt△APC中，∠PAC = 90° - 60° = 30°，
$PC = AP·sin30° = 8×\frac{1}{2} = 4$ n mile。
在Rt△BPC中，∠PBC = 45°，
$PC = BP·sin45° = 2v×\frac{\sqrt{2}}{2} = v\sqrt{2}$。
由$v\sqrt{2} = 4$，解得$v = 2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$
自主探究
问题 如图，大海中某灯塔P周围10 n mile范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8 n mile到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向.如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由（参考数据：√3≈1.73）.
名师指导
如图，作PC⊥AB于点C，比较PC与10 n mile的大小即可判断海轮继续向正东方向航行是否有触礁的危险.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：[自主探究]
本题可通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数关系求出 $PC$ 的长度，再与 $10$ n mile 比较大小来判断是否有触礁危险。
### 步骤一：作辅助线并设未知数
过点 $P$ 作 $PC⊥ AB$ 于点 $C$，设 $PC = x$ n mile。
### 步骤二：在$Rt△ PAC$和$Rt△ PBC$中表示出相关线段长度
- 在 $Rt△ PAC$ 中，$∠ PAC = 30^{\circ}$，因为在直角三角形中，$\tan∠ PAC=\frac{PC}{AC}$，所以 $AC=\frac{PC}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}x$ n mile。
- 在 $Rt△ PBC$ 中，$∠ PBC = 45^{\circ}$，因为在直角三角形中，$\tan∠ PBC=\frac{PC}{BC}$，且 $\tan45^{\circ}=1$，所以 $BC = PC = x$ n mile。
### 步骤三：根据$AB$的长度列方程求解$x$
已知 $AB = 8$ n mile，由 $AC - BC = AB$，可得 $\sqrt{3}x - x = 8$，即 $(\sqrt{3}-1)x = 8$，解得 $x=\frac{8}{\sqrt{3}-1}$。
为了化简$x$的值，给分子分母同时乘以$\sqrt{3}+1$，得到 $x=\frac{8(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{8(\sqrt{3}+1)}{3 - 1}=4(\sqrt{3}+1)$。
将 $\sqrt{3}\approx1.73$ 代入，可得 $x\approx4×(1.73 + 1)=4×2.73 = 10.92$ n mile。
### 步骤四：判断是否有触礁危险
因为 $10.92＞10$，即 $PC＞10$ n mile，所以海轮继续向正东方向航行没有触礁的危险。
综上，海轮继续向正东方向航行没有触礁的危险。
