3. 课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度.如图，在A处用测角仪（离地高度1.5 m）测得旗杆顶端的仰角为30°，朝旗杆方向前进12 m到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为60°，求旗杆EG的高度（结果保留根号）.
答案：3. $(6\sqrt{3}+1.5)$ m
解析：
解：设 $ CD = x \, \mathrm{m} $，在 $ \mathrm{Rt}△ CDE $ 中，$ ∠ ECD = 30° $，则 $ ED = CD · \tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}x $。
在 $ \mathrm{Rt}△ FDE $ 中，$ ∠ EFD = 60° $，$ FD = CD - CF = x - 12 $，则 $ ED = FD · \tan 60° = \sqrt{3}(x - 12) $。
由 $ \frac{\sqrt{3}}{3}x = \sqrt{3}(x - 12) $，解得 $ x = 18 $。
$ ED = \frac{\sqrt{3}}{3} × 18 = 6\sqrt{3} \, \mathrm{m} $，旗杆高度 $ EG = ED + DG = 6\sqrt{3} + 1.5 \, \mathrm{m} $。
答：旗杆 $ EG $ 的高度为 $ (6\sqrt{3} + 1.5) \, \mathrm{m} $。
4. 某消防队拟进行“消防技能”比赛，其中一项比赛项目为利用直梯攀爬越过高墙.在布置比赛场地时，要使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角度一般要满足50°≤α≤75°（如图）.消防队准备的梯子长度均为4 m.
（1）当安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面的最大距离.
（2）若现在有一面6.5 m高的墙，消防员将梯子底端放置在距离墙面2.24 m处.此时消防员能否安全使用这架梯子？
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
答案：4. (1) 梯子顶端 $A$ 与地面的最大距离约为 $3.88$ m；(2) 能安全使用
解析：
(1) 解：在直角三角形中，梯子长度为斜边，梯子顶端与地面距离为对边，角度为α。当α最大时，距离最大，即α=75°。
由正弦函数定义：$\sinα=\frac{AO}{AB}$，则$AO=AB·\sinα$。
已知$AB=4\ \mathrm{m}$，$\sin75°\approx0.97$，
所以$AO\approx4×0.97=3.88\ \mathrm{m}$。
答：梯子顶端A与地面的最大距离约为3.88 m。
(2) 解：已知梯子底端距离墙面$BO=2.24\ \mathrm{m}$，梯子长度$AB=4\ \mathrm{m}$。
由余弦函数定义：$\cosα=\frac{BO}{AB}=\frac{2.24}{4}=0.56$。
由参考数据知$\cos56°\approx0.56$，所以$α=56°$。
因为$50°≤56°≤75°$，满足安全角度范围。
答：此时消防员能安全使用这架梯子。
自主拓展
如图，在住房墙的一侧有一块四边形ABCD空地，AB=30 m，BC=AD=50 m，CD=20 m，∠B=60°，∠D=45°.
（1）求此空地的面积（结果保留根号）；
（2）为了丰富该空地附近市民的文化生活，政府投资对该地块进行改造，建成休闲广场，并建一个矩形便民活动室，一边利用长11 m的住房墙，另三边用21 m长的建筑材料围成.为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一个1 m宽的门，所围成矩形活动室的长、宽分别为多少时，活动室的面积为60 m²？
答案：(1) $(375\sqrt{3}+250\sqrt{2})$ $m^{2}$；(2) 所围成矩形活动室的长为 $10$ m，宽为 $6$ m 时活动室的面积为 $60$ $m^{2}$
