2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $ A(-3,6) $，$ B(-9,-3) $，以原点 $ O $ 为位似中心，相似比为 $ \frac{1}{3} $，把 $ △ ABO $ 缩小，则点 $ B $ 的对应点 $ B' $ 的坐标是(
D
)
A.$ (-9,1) $或 $ (9,-1) $
B.$ (-3,-1) $
C.$ (-1,2) $
D.$ (-3,-1) $或 $ (3,1) $
答案：2. D.
解析：
解：以原点$O$为位似中心，相似比为$\frac{1}{3}$，点$B(-9,-3)$的对应点$B'$的坐标为：
当位似图形与原图形在位似中心同侧时：$(-9×\frac{1}{3}, -3×\frac{1}{3}) = (-3,-1)$
当位似图形与原图形在位似中心异侧时：$(-9×(-\frac{1}{3}), -3×(-\frac{1}{3})) = (3,1)$
故点$B'$的坐标是$(-3,-1)$或$(3,1)$。
D
3. (1)如图(1)，$ △ ABC $ 与 $ △ A'B'C' $ 是位似图形，且位似比是 $ 1:2 $. 若 $ AB = 2\ \mathrm{cm} $，则 $ A'B' = $
4
$ \mathrm{cm} $，并在图中画出位似中心 $ O $.
(2)如图(2)，画出以点 $ O $ 为位似中心，把四边形 $ ABCD $ 缩小为原来的 $ \frac{1}{2} $ 得到的图形.
答案：(1)4；(2)图略
解析：
(1)因为位似比是1:2，AB=2cm，所以A'B'=2×2=4cm。连接AA'、BB'、CC'，它们的交点即为位似中心O。
(2)连接OA、OB、OC、OD，分别取OA、OB、OC、OD的中点A'、B'、C'、D'，顺次连接A'、B'、C'、D'，得到缩小后的四边形A'B'C'D'。
4. 将图中的 $ △ ABC $ 做下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化.
（1）沿 $ y $ 轴负方向平移 3 个单位长度；
（2）关于 $ y $ 轴对称；
（3）以点 $ O $ 为位似中心，放大为原来的 2 倍.
答案：4. (1) 图略，$A_{1}(0, -5), B_{1}(3, -4), C_{1}(2, -2)$，即横坐标不变，纵坐标减3； (2) 图略，$A_{2}(0, -2), B_{2}(-3, -1), C_{2}(-2, 1)$，即纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数； (3) 图略，$A_{3}(0, -4), B_{3}(6, -2), C_{3}(4, 2)$；或$A_{3}(0, 4), B_{3}(-6, 2), C_{3}(-4, -2)$，即横坐标、纵坐标都乘2或-2.
自主拓展
如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ E $，$ F $，$ G $，$ H $ 均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图：
（1）如图（1），在格点上作出以原点 $ O $ 为位似中心，在第三象限内的 $ △ A'B'C' $，使得它与 $ △ ABC $ 为位似图形，且位似比为 $ 2:1 $（不写作法，保留作图痕迹），并写出点 $ C' $ 的坐标.
（2）如图（2），在线段 $ DE $ 上利用格点求作点 $ M $，使得 $ \frac{DM}{EM} = \frac{2}{3} $，并利用相似三角形的知识简要说明理由.
（3）如图（3），请利用格点在 $ △ FGH $ 的边 $ GH $ 上求作一点 $ N $，使得 $ △ GFN ∼ △ GHF $，并简要写出你的作法.
答案：(1) 解：作出的位似图形$△ A'B'C'$如图所示，点$C'(-4, -2)$；
(2) 解：作出的点$M$如图所示.
理由如下：如图，
$\because ∠ DRE = ∠ MKE = 90^{\circ}, ∠ DER = ∠ MEK$，
$\therefore △ DRE ∼ △ MKE$，$\therefore \frac{DM}{ME} = \frac{RK}{KE} = \frac{2}{3}$.
(3) 解：作出的点$N$如图所示.
作法：(1) 将边$GH$绕着点$G$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$GP$； (2) 将线段$GP$平移，使得点$G$与点$F$重合，此时点$P$的对应点为点$Q$； (3) 连接$FQ$交$GH$于点$N$，则点$N$为所求.
证明：$\because$ 将边$GH$绕着点$G$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$GP$，
$\therefore GH ⊥ GP, ∠ PGH = 90^{\circ}$.
$\because GP // FQ$，
$\therefore ∠ FNG = 90^{\circ}$. 在$△ FGH$中，
$\therefore FG = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}, FH = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3\sqrt{2}$，
$GH = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{26}$，$\therefore FG^{2} + FH^{2} = GH^{2}$，
$\therefore △ FGH$为直角三角形，$∠ GFH = 90^{\circ}$.
在$△ FGH$和$△ NFG$中，
$\because ∠ G = ∠ G, ∠ GFH = ∠ GNF = 90^{\circ}$，
$\therefore △ GFN ∼ △ GHF$.
