解：
∵五边形$ABCDE$与五边形$A'B'C'D'E'$是位似图形，$O$为位似中心，
$OD = \frac{1}{2}OD'$，
$\therefore OD':OD = 2:1$，
$\therefore A'B':AB = OD':OD = 2:1$。
D

解：
∵ 正方形 $OABC$ 与正方形 $ODEF$ 为位似图形，位似中心为 $O$，相似比为 $1:\sqrt{2}$，
∴ 点 $E$ 与点 $C$ 是对应点。
∵ 点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$，且 $OABC$ 是正方形，
∴ 点 $C$ 的坐标为 $(0,1)$。
设点 $E$ 的坐标为 $(x,y)$，由位似图形性质得：
$\frac{OC}{OE} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，即 $\frac{\sqrt{0^2 + 1^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，
解得 $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2}$。
又
∵ 位似图形对应点连线过位似中心，且两正方形均在第一象限，
∴ 点 $E$ 在直线 $y = x$ 上，即 $x = y$。
联立 $\begin{cases} x = y \\ \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2} \end{cases}$，解得 $x = y = \sqrt{2}$（负值舍去）。
∴ 点 $E$ 的坐标为 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$。
C

证明：因为△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且它们的周长之比为2:3，所以△ABC与△DEF的相似比为2:3。
由于位似图形对应点的连线交于位似中心，所以△AOB与△DOE是位似图形，其相似比等于△ABC与△DEF的相似比，即2:3。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得△AOB与△DOE的面积之比为$2^2:3^2 = 4:9$。
故答案为$4:9$。