自主拓展
已知矩形A的长、宽分别是2和1。
（1）是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的2倍？对上述问题，小明同学从“图形”的角度，利用函数图象给予了解决。小明论证的过程开始是这样的：如果用x，y分别表示矩形的长和宽，那么矩形B满足x+y=6，xy=4。请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程。
（2）是否存在一个矩形C，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的一半？小明认为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？
答案：(1) $ (x, y) $可以看作一次函数 $ y = -x + 6 $的图象与反比例函数 $ y = \dfrac{4}{x} $的图象在第一象限内交点的坐标。分别画出两图象(图略)，从图中可看出，这样的交点存在，即满足要求的矩形 $ B $存在。 (2) 不同意小明的观点。如果用 $ x, y $分别表示矩形的长和宽，那么矩形 $ C $满足 $ x + y = \dfrac{3}{2}, xy = 1 $，而满足要求的 $ (x, y) $可以看作一次函数 $ y = -x + \dfrac{3}{2} $的图象与反比例函数 $ y = \dfrac{1}{x} $的图象在第一象限内交点的坐标。画图可以看出，这样的交点不存在，即满足要求的矩形 $ C $是不存在的。所以不同意小明的观点。
解析：
（1）矩形A的周长为$2×(2 + 1)=6$，面积为$2×1 = 2$，则矩形B的周长为$2×6 = 12$，面积为$2×2 = 4$。设矩形B的长和宽分别为$x$，$y$，则$x + y=\frac{12}{2}=6$，$xy = 4$。$(x,y)$可看作一次函数$y=-x + 6$的图象与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象在第一象限内交点的坐标。两图象在第一象限有交点，所以满足要求的矩形B存在。
（2）不同意。矩形C的周长为$\frac{6}{2}=3$，面积为$\frac{2}{2}=1$。设矩形C的长和宽分别为$x$，$y$，则$x + y=\frac{3}{2}$，$xy = 1$。$(x,y)$可看作一次函数$y=-x+\frac{3}{2}$的图象与反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象在第一象限内交点的坐标。两图象在第一象限无交点，所以满足要求的矩形C不存在，不同意小明的观点。
一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50 km/h的平均速度从甲地出发，则经过6 h可到达乙地。
（1）甲、乙两地相距多少千米？
（2）如果汽车把速度提高到v(km/h)，那么从甲地到乙地所用时间t(h)将怎样变化？
（3）写出t与v之间的函数解析式；
（4）因某种原因，这辆汽车需在5 h内从甲地到达乙地，则此时汽车平均速度至少应是多少？
（5）已知汽车的平均速度最大可达80 km/h，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间？
答案：(1) $ 300 \mathrm{km} $； (2) $ t $随 $ v $的增大而减小；(3) $ t = \dfrac{300}{v} $； (4) $ 60 \mathrm{km/h} $； (5) $ 3.75 \mathrm{h} $。
解析：
（1）$50×6=300$（km）
（2）$t$随$v$的增大而减小
（3）$t=\dfrac{300}{v}$
（4）当$t=5$时，$v=\dfrac{300}{5}=60$（km/h）
（5）当$v=80$时，$t=\dfrac{300}{80}=3.75$（h）
