21. (10 分)如图，已知 $ △ ABC $ 三个顶点的坐标分别为 $ A(-2,-4) $，$ B(0,-4) $，$ C(1,-1) $。
(1)请在网格中，画出线段 $ BC $ 关于原点对称的线段 $ B_1C_1 $；
(2)请在网格中，过点 $ C $ 画一条直线 $ CD $，将 $ △ ABC $ 分成面积相等的两部分，与线段 $ AB $ 相交于点 $ D $，写出点 $ D $ 的坐标；
(3)若另有一点 $ P(-3,-3) $，连接 $ PC $，则 $ \tan ∠ BCP = $
1
。
答案：21. (1) 分别作出点 $ B $，$ C $ 关于原点对称的点，然后连接即可；(2) 根据网格特点，找到 $ AB $ 的中点 $ D $，作直线 $ CD $，根据点 $ D $ 的位置写出坐标即可，$ D(-1,-4) $；(3) 1.
解析：
(1) 点 $ B(0,-4) $ 关于原点对称的点 $ B_1(0,4) $，点 $ C(1,-1) $ 关于原点对称的点 $ C_1(-1,1) $，连接 $ B_1C_1 $ 即为所求。
(2) $ AB $ 中点 $ D $ 的坐标为 $ ( \frac{-2+0}{2}, -4 ) = (-1,-4) $，直线 $ CD $ 将 $ △ ABC $ 分成面积相等的两部分，点 $ D $ 的坐标为 $ (-1,-4) $。
(3) $ 1 $
22. （12 分）已知线段 $ OA ⊥ OB $，$ C $ 为 $ OB $ 的中点，$ D $ 为 $ AO $ 上一点，连接 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ P $。
（1）如图（1），当 $ OA = OB $ 且 $ D $ 为 $ AO $ 的中点时，求 $ \dfrac{AP}{PC} $ 的值；
（2）如图（2），当 $ OA = OB $，$ \dfrac{AD}{AO} = \dfrac{1}{4} $ 时，求 $ \tan ∠ BPC $。
答案：22. (1) 如图，过点 $ D $ 作 $ DE // CO $ 交 $ AC $ 于 $ E $，$ \because D $ 为 $ OA $ 中点，$ \therefore AE = CE = \frac{1}{2}AC $. $ \because DE $ 为 $ △ ACO $ 的中位线，$ \therefore \frac{DE}{CO} = \frac{1}{2} $. $ \because $ 点 $ C $ 为 $ OB $ 中点，$ \therefore BC = CO $，$ \frac{DE}{BC} = \frac{DE}{CO} = \frac{1}{2} $. $ \because DE // BC $，$ \therefore \frac{PE}{PC} = \frac{DE}{BC} = \frac{1}{2} $，$ \therefore PC = \frac{2}{3}CE = \frac{2}{3} × \frac{1}{2}AC = \frac{1}{3}AC $，$ \therefore \frac{AP}{PC} = \frac{AC - PC}{PC} = \frac{AC - \frac{1}{3}AC}{\frac{1}{3}AC} = 2 $.
(2) 过点 $ D $ 作 $ DE // BO $ 交 $ AC $ 于 $ E $，$ \because \frac{AD}{AO} = \frac{1}{4} $，$ \therefore \frac{DE}{CO} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4} $. $ \because $ 点 $ C $ 为 $ OB $ 中点，$ \therefore \frac{DE}{BC} = \frac{1}{4} $，$ \therefore \frac{PE}{PC} = \frac{DE}{BC} = \frac{1}{4} $，$ \therefore PC = \frac{4}{5}CE = \frac{4}{5} × \frac{3}{4}AC = \frac{3}{5}AC $. 过点 $ D $ 作 $ DF ⊥ AC $，垂足为 $ F $，设 $ AD = a $，则 $ AO = 4a $. $ \because OA = OB $，点 $ C $ 为 $ OB $ 中点，$ \therefore CO = 2a $，在 $ \mathrm{Rt}△ ACO $ 中，$ AC = \sqrt{AO^{2} + CO^{2}} = \sqrt{(4a)^{2} + (2a)^{2}} = 2\sqrt{5}a $. 又 $ \because \mathrm{Rt}△ ADF ∼ \mathrm{Rt}△ ACO $，$ \therefore \frac{AF}{AO} = \frac{DF}{CO} = \frac{AD}{AC} = \frac{a}{2\sqrt{5}a} = \frac{\sqrt{5}}{10} $，$ \therefore AF = \frac{2\sqrt{5}}{5}a $，$ DF = \frac{\sqrt{5}}{5}a $，$ \therefore PF = AC - AF - PC = 2\sqrt{5}a - \frac{2\sqrt{5}}{5}a - \frac{3}{5} × 2\sqrt{5}a = \frac{2\sqrt{5}}{5}a $，$ \therefore \tan ∠ BPC = \tan ∠ FPD = \frac{DF}{PF} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}a}{\frac{2\sqrt{5}}{5}a} = \frac{1}{2} $.
