15. 如图是 $ 4 × 4 $ 正方形网格，其中已有 3 个小方格涂成了黑色。现在要从其余 13 个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有
4
个。
答案：15. 4.
16. 如图，在 $ △ ABC $ 中，已知 $ AC = 3 $，$ BC = 4 $，点 $ D $ 为边 $ AB $ 的中点，连接 $ CD $，过点 $ A $ 作 $ AE ⊥ CD $ 于点 $ E $，将 $ △ ACE $ 沿直线 $ AC $ 翻折到 $ △ ACE' $ 的位置。若 $ CE' // AB $，则 $ CE' = $
$ \frac{9}{5} $
。
答案：16. $ \frac{9}{5} $.
解析：
解：设 $ CE = CE' = x $，$ AE = AE' = y $。
由翻折性质知 $ ∠ ACE = ∠ ACE' $，$ AE ⊥ CD $，$ AE' ⊥ CE' $。
因为 $ CE' // AB $，所以 $ ∠ ACE' = ∠ CAB $，故 $ ∠ ACE = ∠ CAB $。
在 $ △ AEC $ 中，$ \cos ∠ ACE = \frac{CE}{AC} = \frac{x}{3} $；在 $ △ ABC $ 中，$ \cos ∠ CAB = \frac{AC}{AB} $。
设 $ AB = c $，由中线定理：$ CD = \frac{1}{2}\sqrt{2AC^2 + 2BC^2 - AB^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 × 9 + 2 × 16 - c^2} = \frac{1}{2}\sqrt{50 - c^2} $。
又 $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × CD × AE × 2 = CD × AE $（因为 $ D $ 为中点，$ △ ACD $ 与 $ △ BCD $ 面积相等），即 $ \frac{1}{2}AC × BC × \sin ∠ ACB = CD × y $。
由 $ ∠ ACE = ∠ CAB $，得 $ \frac{x}{3} = \frac{3}{c} $（$ \cos ∠ CAB = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2AC · AB} = \frac{9 + c^2 - 16}{6c} = \frac{c^2 - 7}{6c} $，又 $ \cos ∠ ACE = \frac{x}{3} $，且 $ ∠ ACE = ∠ CAB $，故 $ \frac{x}{3} = \frac{c^2 - 7}{6c} $，结合 $ \frac{x}{3} = \frac{3}{c} $ 得 $ \frac{3}{c} = \frac{c^2 - 7}{6c} $，解得 $ c^2 = 25 $，$ c = 5 $）。
则 $ \frac{x}{3} = \frac{3}{5} $，解得 $ x = \frac{9}{5} $。
$\boxed{\dfrac{9}{5}}$
三、解答题（共 6 小题，共 52 分）
17. （8 分）如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ AB = 4a $，$ E $ 在 $ BC $ 上，$ EC = 2a $，$ ∠ BAD = 120° $，点 $ P $ 在 $ BD $ 上。求 $ PE + PC $ 的最小值。
答案：17. $ 2\sqrt{3}a $.
解析：
解：连接 $PA$，$AE$。
因为四边形 $ABCD$ 是菱形，所以 $A$ 与 $C$ 关于对角线 $BD$ 对称，因此 $PA = PC$，则 $PE + PC = PE + PA$。
当 $P$ 为 $AE$ 与 $BD$ 的交点时，$PE + PA$ 取得最小值，即 $AE$ 的长。
因为菱形 $ABCD$ 中，$AB = BC = 4a$，$∠ BAD = 120°$，所以 $∠ ABC = 60°$。
又因为 $EC = 2a$，所以 $BE = BC - EC = 4a - 2a = 2a$，即 $BE = 2a$，$AB = 4a$。
在 $△ ABE$ 中，$AB = 4a$，$BE = 2a$，$∠ ABE = 60°$，由余弦定理得：
$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 · AB · BE · \cos 60°$
$= (4a)^2 + (2a)^2 - 2 · 4a · 2a · \frac{1}{2}$
$= 16a^2 + 4a^2 - 8a^2$
$= 12a^2$
所以 $AE = 2\sqrt{3}a$，即 $PE + PC$ 的最小值为 $2\sqrt{3}a$。
$2\sqrt{3}a$
18. （6 分）如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分：（1）用直线分割；（2）每个部分内各有一个景点；（3）各部分的面积相等（可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）。
答案：18. 答案不唯一，如图所示:
19. （8 分）如图，在平面直角坐标系中，$ A(2,0) $，$ B(0,1) $，$ AC $ 由 $ AB $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 90° $ 而得，求点 $ C $ 的坐标及 $ AC $ 所在直线的解析式。
答案：19. $ C(3,2) $，$ y = 2x - 4 $.
解析：
解：过点$ C $作$ CD ⊥ x $轴于点$ D $。
$\because A(2,0)$，$ B(0,1)$，
$\therefore OA=2$，$ OB=1$。
$\because AC$由$ AB $绕点$ A $顺时针旋转$ 90° $而得，
$\therefore AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAO + ∠ CAD=90°$。
$\because ∠ BAO + ∠ ABO=90°$，
$\therefore ∠ ABO=∠ CAD$。
在$△ ABO$和$△ CAD$中，
$\begin{cases}∠ AOB=∠ CDA=90° \\∠ ABO=∠ CAD \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ CAD$（AAS），
$\therefore AD=OB=1$，$ CD=OA=2$。
$\because OA=2$，
$\therefore OD=OA + AD=2 + 1=3$，
$\therefore C(3,2)$。
设$ AC $所在直线的解析式为$ y=kx + b $，
将$ A(2,0)$，$ C(3,2)$代入得：
$\begin{cases}2k + b=0 \\3k + b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2 \\b=-4\end{cases}$
$\therefore AC$所在直线的解析式为$ y=2x - 4 $。
综上，点$ C $的坐标为$(3,2)$，$ AC $所在直线的解析式为$ y=2x - 4 $。
20. （8 分）如图（1），在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 100° $，$ AB = AC $，$ P $ 为 $ BC $ 边上任意一点。
（1）若点 $ E $，$ F $ 分别在 $ AB $，$ AC $ 上，且 $ ∠ EPF = 40° $。探索 $ PB · PC $ 与 $ BE · CF $ 有怎样的关系？并说明理由。
（2）如图（2），点 $ P $ 仍在 $ BC $ 上，点 $ E $ 在边 $ AB $ 上，而点 $ F $ 在 $ CA $ 的延长线上，且仍有 $ ∠ EPF = 40° $，那么（1）中的结论还成立吗？写出你的判断。
（3）如图（3），点 $ P $ 在边 $ CB $ 的延长线上，点 $ E $ 在边 $ AB $ 上，点 $ F $ 在 $ AC $ 边的延长线上，仍有 $ ∠ EPF = 40° $，那么（1）中的结论还成立吗？并说明理由。
答案：20. (1) $ PB · PC = BE · CF $，提示：证$ △ BEP ∼ △ CPF $；(2) 仍然成立，理由同(1)；(3) 仍然成立，理由同(1).
解析：
（1）$PB· PC=BE· CF$。
证明：在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=100°$，则$∠ B=∠ C=\frac{180° - 100°}{2}=40°$。
因为$∠ EPF=40°$，所以$∠ EPB + ∠ FPC = 180° - ∠ EPF = 140°$。
在$△ BEP$中，$∠ BEP + ∠ B + ∠ EPB = 180°$，即$∠ BEP + 40° + ∠ EPB = 180°$，所以$∠ BEP = 140° - ∠ EPB$，故$∠ BEP = ∠ FPC$。
又因为$∠ B = ∠ C = 40°$，所以$△ BEP ∼ △ CPF$。
因此，$\frac{PB}{CF}=\frac{BE}{PC}$，即$PB· PC=BE· CF$。
（2）成立。
（3）成立。
证明：在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=100°$，则$∠ ABC=∠ ACB=40°$，所以$∠ PBE = 180° - ∠ ABC = 140°$，$∠ PCF = 180° - ∠ ACB = 140°$，故$∠ PBE = ∠ PCF$。
因为$∠ EPF=40°$，所以$∠ EPB + ∠ FPB = 40°$。
在$△ PFC$中，$∠ PFC + ∠ PCF + ∠ FPC = 180°$，即$∠ PFC + 140° + ∠ FPC = 180°$，所以$∠ PFC = 40° - ∠ FPC$，故$∠ EPB = ∠ PFC$。
因此，$△ PBE ∼ △ FCP$。
所以，$\frac{PB}{FC}=\frac{BE}{PC}$，即$PB· PC=BE· CF$。
