[例1]计算:
(1)6m(m−n+2);
(2)(−2x)(3x²−4x−2);
(3)(3x²+xy−y²).3x²;
(4)2a(−2ab+$\frac{1}{3}$ab2{.
解 (1)6m(m−n+2)
=6m.m+6m.(−n)+6m.2
=6m²−6mn+12m;
(2)(−2x)(3x²−4x−2)
=(−2x).3x²+(−2x).(−4x)+
(−2x).(−2)
=−6x3+8x²+4x;
(3)(3x²+xy−y²).3x²
=3x².3x²+xy.3x²+(−y²).3x²
=9x4+3x²y−3x²y²;
(4)2a(−2ab+$\frac{1}{3}$ab2)
=2a.(−2ab)+2a.$\frac{1}{3}$ab²
=−4a²b+$\frac{2}{3}$a²b².
总结 (1)单项式与多项式相乘的实质
是利用乘法分配律将其转化为单项式与单项
式相乘，然后将所得的积相加.
(2)单项式与多项式相乘，结果是一个
多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，
可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项.
答案：(1)
$6m(m - n + 2)$
$=6m· m - 6m· n + 6m·2$
$=6m^{2}-6mn + 12m$
(2)
$(-2x)(3x^{2}-4x - 2)$
$=(-2x)×3x^{2}-(-2x)×4x+(-2x)×(-2)$
$=-6x^{3}+8x^{2}+4x$
(3)
$(3x^{2}+xy - y^{2})×3x^{2}$
$=3x^{2}×3x^{2}+xy×3x^{2}-y^{2}×3x^{2}$
$=9x^{4}+3x^{3}y - 3x^{2}y^{2}$
(4)
$2a(-2ab+\frac{1}{3}ab^{2})$
$=2a×(-2ab)+2a×\frac{1}{3}ab^{2}$
$=-4a^{2}b+\frac{2}{3}a^{2}b^{2}$
●跟踪练习1 计算:
(1)(−x²−xy+y²)(−3xy);
(2)(−2ab²)3(3a²b−2ab−4b²2);
(3)(−$\frac{1}{2}$x²y)3(4x2−$\frac{8}{3}$xxy+2y)
(4)2n(−2mn)²−3n(mn+m²n+
m²n²).
答案：(1) $3x^3y + 3x^2y^2 - 3xy^3$，
(2) $-24a^5b^7 + 16a^4b^7 + 32a^3b^8$，
(3) $-0.5x^8y^3 + \frac{1}{3}x^8y^4 - 0.25x^6y^4$，
(4) $5m^2n^3 - 3mn^2 - 3m^2n^2$。
解析：
(1)使用乘法分配律进行计算：
$(−x^2−xy+y^2)(−3xy)$
$=(-x^2)(-3xy) + (-xy)(-3xy) + (y^2)(-3xy)$
$= 3x^3y + 3x^2y^2 - 3xy^3$
(2)首先计算乘方，然后使用乘法分配律：
$(−2ab^2)^3(3a^2b−2ab−4b^2)$
$= (-8a^3b^6)(3a^2b - 2ab - 4b^2) $
$= -24a^5b^7 + 16a^4b^7 + 32a^3b^8$
(3)首先计算乘方，然后使用乘法分配律：
$(−\frac{1}{2}x^2y)^3(4x^2−\frac{8}{3}xxy+2y)$
$= (-\frac{1}{8}x^6y^3)(4x^2 - \frac{8}{3}x^2y + 2y) $
$= -0.5x^8y^3 + \frac{1}{3}x^8y^4 - 0.25x^6y^4$
(4)首先根据乘方运算，再根据乘法分配律以及合并同类项：
$2n(−2mn)^2−3n(mn+m^2n+m^2n^2)$
$= 2n(4m^2n^2) - 3n(mn + m^2n + m^2n^2) $
$= 8m^2n^3 - 3mn^2 - 3m^2n^2 - 3m^2n^3$
$= 8m^2n^3 - 3mn^2 - 3m^2n^2 +(- 3m^2n^3)$
$= 5m^2n^3 - 3mn^2 - 3m^2n^2$
[例2]李老师做了一个长方形教具，
其中一边长为a+2b，另一边长为a，则该
长方形教具的面积为(
).
A.a²+2ab
B.2a+6b
C.ab+2b
D.ab+2b2
解析 该长方形教具的面积为a(a+2b)=
a.a+a.2b=a²+2ab.
答案 A
总结 解题时先理解题意，将题中的量
用代数式表示出来，然后利用单项式与多项
式相乘的运算解决问题.
答案：A
解析：
该长方形教具的面积可以表示为长乘以宽，即$a × (a + 2b)$。
根据单项式与多项式相乘的运算规则，$a × (a + 2b) = a · a + a · 2b = a^{2} + 2ab$。
●跟踪练习2 某小区计划将一个长为
5am、宽为2bm的长方形场地打造成居民
健身场所，如图16.2−3，在这个场地一角分
割出一块长为(3a+1)m、宽为bm的长方
形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身
器材.其中用作篮球场的区域铺设塑胶地面，
用作安装健身器材的区域铺设水泥地面.
(1)用含a，b的代数式分别表示篮球场区域的地面面积S和安装健身器材区域的地面面积S2;
(2)当a=9m，b=15m时，求篮球场区域的地面面积和安装健身器材区域的地面面积;
(3)在(2)的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求铺设该居民健身场所地面所需的总费用M(单位:元).
答案：(1)
$S_1 = b(3a + 1)=3ab + b$（$m^2$），
$S_2=2b×5a-(3ab + b)=10ab - 3ab - b = 7ab - b$（$m^2$）。
(2)
当$a = 9$，$b = 15$时，
$S_1=3×9×15 + 15=405 + 15 = 420$（$m^2$），
$S_2=7×9×15 - 15=945 - 15 = 930$（$m^2$）。
(3)
$M = 100S_1+50S_2=100×420 + 50×930=42000 + 46500 = 88500$（元）。
