7.(生活中的数学)某拱形门
的示意图如图所示，它是由上、下
两部分组成的.上面是半圆，半圆
的直径为xm;下面是长方形，宽
为xm，长是宽的2倍.这个拱形
门的面积可表示为
m²(结
果保留π).
答案：$( \frac{π}{8} + 2 ) x^2 $
解析：
题目给出的拱形门由上半部分的半圆和下半部分的长方形组成。
上面半圆的直径为 $ x $ 米，因此半径为 $ \frac{x}{2} $ 米。
半圆的面积公式为：
$ \mathrm{面积} = \frac{1}{2} π r^2 $。
代入半径 $ r = \frac{x}{2} $：
$ \mathrm{半圆面积} = \frac{1}{2} π ( \frac{x}{2} )^2 = \frac{1}{2} π \frac{x^2}{4} = \frac{π x^2}{8} $。
下面长方形的宽为 $ x $ 米，长是宽的2倍，即 $ 2x $ 米。
长方形的面积公式为：
$ \mathrm{面积} = \mathrm{长} × \mathrm{宽} $。
代入长和宽：
$ \mathrm{长方形面积} = 2x × x = 2x^2 $。
将半圆面积和长方形面积相加，得到拱形门的总面积：
$ \mathrm{总面积} = \frac{π x^2}{8} + 2x^2 $。
将面积表达式整理为：
$ \mathrm{总面积} = ( \frac{π}{8} + 2 ) x^2 $。
8.(新定义运算)若a²十b2=nab，就
称(a，b)是“n倍理想坐标”.例如:因为
1²十(−1)²=(−2)×1×(−1)，所以称(1,
−1)是“−2倍理想坐标”;因为12+22=
$\frac{5}{2}$×1×2，所以称(1，2)是“$\frac{5}{2}$倍理想
坐标”
根据以上材料，解答下列问题:
(1) (−2,2)
“−2倍理想
坐标” (填“是”或“不是”)， (3，2)是
66
倍理想坐标”;
(2)当点M(a，b)在坐标轴上时，若
(a，b)是“n倍理想坐标”，求点M的坐
标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特
殊位置;
(3)当|$\frac{a}{b}$|=1时，(a，b)是几倍理想
坐标?
答案：(1)
因为$(-2)^{2}+2^{2}=8$，$-2×(-2)×2 = 8$，$8 = 8$，所以$(-2,2)$是“$-2$倍理想坐标”；
因为$3^{2}+2^{2}=13$，若$3^{2}+2^{2}=n×3×2$，即$13 = 6n$，$n=\frac{13}{6}≠6$，所以$(3,2)$不是“$6$倍理想坐标”，应填$\frac{13}{6}$。
(2)
当点$M(a,b)$在坐标轴上时：
当$a = 0$，$b≠0$时，$a^{2}+b^{2}=b^{2}$，$nab = 0$，因为$a^{2}+b^{2}=nab$，则$b^{2}=0$，矛盾，所以$b = 0$不满足（$b≠0$）舍去这种情况。
当$a≠0$，$b = 0$时，$a^{2}+b^{2}=a^{2}$，$nab = 0$，由$a^{2}+b^{2}=nab$得$a^{2}=0$，矛盾，舍去。
当$a = 0$且$b = 0$时，$a^{2}+b^{2}=0$，$nab = 0$，$n$可以取任意实数，此时点$M$的坐标为$(0,0)$，是坐标原点。
(3)
当$\vert\frac{a}{b}\vert = 1$时，即$a=\pm b$。
当$a = b$时，$a^{2}+b^{2}=2a^{2}$，$nab=n× a× a=na^{2}$，由$a^{2}+b^{2}=nab$得$2a^{2}=na^{2}$，因为$a≠0$（若$a = 0$，$b = 0$，$\vert\frac{a}{b}\vert$无意义），所以$n = 2$。
当$a=-b$时，$a^{2}+b^{2}=2a^{2}$，$nab=n× a×(-a)=-na^{2}$，由$a^{2}+b^{2}=nab$得$2a^{2}=-na^{2}$，因为$a≠0$，所以$n=-2$。
综上，$(a,b)$是$\pm2$倍理想坐标。
