2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版第85页解析答案

9. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ B = ∠ D = 90^{\circ} $，$ ∠ BAD = 140^{\circ} $，$ E $，$ F $ 分别为边 $ BC $ 和 $ CD $ 上的动点，连接 $ AE $，$ AF $，$ EF $. 当 $ △ AEF $ 的周长最小时，$ ∠ EAF = $(

A.$ 120^{\circ} $
B.$ 100^{\circ} $
C.$ 90^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

答案：B

解析：

作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''交BC于E，交CD于F，此时△AEF周长最小。由对称性质得AE=A'E，AF=A''F，∠EAB=∠EA'B=α，∠FAD=∠FA''D=β。在△A'A''A中，∠A'AA''=∠BAD=140°，∠A'+∠A''+∠A'AA''=180°，故α+β=40°。则∠EAF=∠BAD-(α+β)=140°-40°=100°。

10. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ BAD = α $，$ ∠ B = ∠ D = 90^{\circ} $，$ M $，$ N $ 分别为边 $ BC $，$ CD $ 上的点. 若找到使 $ △ AMN $ 的周长最小的点 $ M $，$ N $ 的位置，此时 $ ∠ MAN = $(

A.$ \dfrac{1}{2}α $
B.$ α - 90^{\circ} $
C.$ 180^{\circ} - α $
D.$ 2α - 180^{\circ} $

答案：D

解析：

作点A关于BC的对称点A₁，关于CD的对称点A₂，连接A₁A₂交BC于M，交CD于N，此时△AMN周长最小。由对称性质得AM=A₁M，AN=A₂N，∠BAM=∠BA₁M=x，∠DAN=∠DA₂N=y。在△A₁A₂A中，∠A₁+∠A₂+∠A₁AA₂=180°，∠A₁AA₂=∠BAD=α，故x+y=180°-α。则∠MAN=∠BAD-(x+y)=α-(180°-α)=2α-180°。