在等边△ABC中，边长为6，G为BC中点，故BG=3。E、F为AB、AC中点，EF为中位线，EF//BC且EF=3。要使△BPG周长最小，需BP+PG最小（BG固定）。作G关于EF的对称点，因EF为中位线，G对称点为A。则PG=PA，BP+PG=BP+PA，当P为EF与AB交点（即E点）时，BP+PA=AB=6。故△BPG周长最小值为6+3=9。

因为△ABC是等腰三角形，AD是高，所以AD垂直平分BC，故BE=CE（垂直平分线上的点到两端距离相等）。则BE+EF=CE+EF。要使CE+EF最小，需在AB上找一点F，在AD上找一点E，使得CE+EF最小。根据几何性质，当F为C到AB的垂足，E为CF与AD的交点时，CE+EF最小，即CF的长度（点到直线的距离最短）。
由题意，AC=5，BD=3，AD=4，BC=2BD=6，△ABC面积=1/2×BC×AD=1/2×6×4=12。又△ABC面积=1/2×AB×CF，AB=AC=5，故1/2×5×CF=12，解得CF=24/5。因此BE+EF的最小值为24/5。

作点C关于BD的对称点C'，由BD平分∠ABC知C'在AB上，且BC'=BC=8。过C'作C'N⊥BC于N，交BD于M，此时CM+MN=C'N最小。
∵∠ACB=90°，C'N⊥BC，∴C'N//AC，△BC'N∽△BAC。
∴C'N/AC=BC'/BA，即C'N/6=8/10，解得C'N=4.8。

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16，AB=20。AD是∠BAC的平分线，P、Q分别为AD、AC上的动点。
由于AD平分∠BAC，根据角平分线性质，AD上任意点P到AC、AB的距离相等。设P到AC的距离为PQ（Q为垂足），则P到AB的距离PE=PQ（E为AB上垂足）。
因此，PC+PQ=PC+PE。要使PC+PE最小，需使C、P、E三点共线且CE⊥AB（垂线段最短）。
在Rt△ABC中，面积S=1/2·AC·BC=1/2·AB·CE，即12×16=20·CE，解得CE=9.6。
故PC+PQ的最小值为9.6。

作点F关于AD的对称点F'，则F'在AC上，且EF=EF'，故BE+EF=BE+EF'。当B、E、F'三点共线且BF'⊥AC时，BE+EF最小（垂线段最短）。此时∠AF'B=90°，∠BAC=50°，则∠ABF'=40°。AD平分∠BAC，∠BAD=25°。在△ABE中，∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-25°-40°=115°。