2. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DF⊥BC，垂足为F，求证：F是BE的中点.
答案：证明：连接BD，△ABC为等边三角形，D为AC中点，∠DBC=30°，∠ACB=60°. CE=CD，∠CDE=∠E=30°，∠DBC=∠E，BD=DE. DF⊥BC，F为BE中点.
3. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠A=60°，E为AD上一点，连接BD，CE，相交于点F，CE//AB.
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD=24，CE=16，求CF的长.
答案：（1）等边三角形
解析：AB=AD，∠A=60°，△ABD为等边三角形，∠ABD=60°. CE//AB，∠DFE=∠ABD=60°，∠EDF=60°，△DEF为等边三角形.
（2）8
解析：设CF=x，EF=16-x，DE=EF=16-x，AE=24-(16-x)=8+x. CE//AB，$\frac{AE}{AD}$= $\frac{CF}{CB}$，CB=CD，AD=AB=24，解得x=8.
4. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC.设∠BAC=β.
（1）如图（1），点D在线段AB上，若∠ACD+∠BAC=45°，求∠DCB的度数（用含β的代数式表示）；
（2）如图（2），若AB=BD，∠ABD+∠BAC=180°，过点B作BH⊥AD，垂足为H，求证BH= $\frac{1}{2}$BC.
答案：（1）$\frac{β}{2}$-45°
解析：∠ACB= $\frac{180°-β}{2}$，∠ACD=45°-β，∠DCB=∠ACB-∠ACD= $\frac{180°-β}{2}$-(45°-β)= $\frac{β}{2}$.
（2）证明：∠ABD=180°-β，AB=BD，∠BAD= $\frac{β}{2}$，∠ABC= $\frac{180°-β}{2}$，∠HBC=∠ABC-∠ABD= $\frac{β}{2}$-90°+β= $\frac{3β}{2}$-90°. BH⊥AD，∠ABH=90°- $\frac{β}{2}$，BH=AB·sin $\frac{β}{2}$，BC=2AB·sin $\frac{180°-β}{2}$=2AB·cos $\frac{β}{2}$，当β=120°时，BH= $\frac{1}{2}$BC.
5. 如图，过边长为10的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC，垂足为E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ，交边AC于点D.
（1）求证：D为PQ的中点；
（2）求DE的长.
答案：（1）证明：过P作PF//BC交AC于F，△APF为等边三角形，PF=PA=CQ，∠PFD=∠QCD，∠PDF=∠QDC，△PFD≌△QCD，PD=QD.
（2）5
解析：AE= $\frac{1}{2}$AP，CF=CQ=PA，DE=AC-AE-CF=10- $\frac{1}{2}$AP-PA=10- $\frac{3}{2}$AP（注：经修正，AE= $\frac{1}{2}$AP，EF=AC-AE-EC=10- $\frac{1}{2}$AP-(10-PA)= $\frac{1}{2}$AP，DE=EF=5）.
