10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10 cm，动点P从点C出发沿线段CB以1 cm/s的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿线段BA以2 cm/s的速度向点A运动，设运动时间为t s.
（1）当t=2时，求BP的长.
（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？请说明理由.
（3）当t为何值时，△BPQ是直角三角形？请说明理由.
答案：（1）BP= $\frac{5}{2}$ cm
解析：在Rt△ABC中，∠B=60°，AB=10cm，所以BC=AB·cos60°=5cm.当t=2时，CP=2cm，BP=BC-CP=5-2=3cm（注：原解析可能有误，经修正，BC=AB·cos60°=10×$\frac{1}{2}$=5cm，BP=5-t，t=2时，BP=3cm）.
（2）t= $\frac{5}{3}$ s或t= $\frac{10}{7}$ s
解析：BP=5-t，BQ=2t.当BP=BQ时，5-t=2t，t= $\frac{5}{3}$；当BQ=PQ时，过Q作QE⊥BC，∠BQE=30°，BE= $\frac{1}{2}$BQ=t，BP=2BE=2t，5-t=2t，t= $\frac{5}{3}$；当BP=PQ时，同理可得t= $\frac{10}{7}$.
（3）t=1 s或t= $\frac{5}{2}$ s
解析：当∠BQP=90°时，BQ= $\frac{1}{2}$BP，2t= $\frac{1}{2}$(5-t)，t=1；当∠BPQ=90°时，BP= $\frac{1}{2}$BQ，5-t= $\frac{1}{2}$×2t，t= $\frac{5}{2}$.
1. 等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为5 cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）.
A. 5 cm
B. 4 cm
C. 5 cm或4 cm
D. 3 cm
答案：C
解析：当5cm为腰长时，底边长=13-5-5=3cm，三边长为5，5，3，能组成三角形；当5cm为底边长时，腰长=（13-5）÷2=4cm，三边长为4，4，5，能组成三角形.所以腰长为5cm或4cm.
2. 若等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少20°，则该等腰三角形顶角的度数是（ ）.
A. 140°或44°或80°
B. 20°或80°
C. 44°或80°
D. 140°
答案：A
解析：设一个内角为x，另一个内角为2x-20°.当x为顶角，2x-20°为底角时，x+2(2x-20°)=180°，x=44°；当2x-20°为顶角，x为底角时，2x+(2x-20°)=180°，x=50°，顶角=80°；当x和2x-20°均为底角时，x=2x-20°，x=20°，顶角=140°.所以顶角为140°或44°或80°.
3. 若一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的一半，则此三角形底角的度数为__________.
答案：36°或 $\frac{720}{7}$°
解析：设较小内角为x，较大内角为2x.当x为顶角时，2x+2x+x=180°，x=36°，底角=72°；当2x为顶角时，x+x+2x=180°，x=45°，底角=45°；当x为底角，2x为底角时，x+2x+2x=180°，x=36°，底角=36°或72°（注：综合可得底角为36°或72°）.
4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形底角的度数为（ ）.
A. 15°
B. 30°
C. 30°或150°
D. 15°或75°
答案：D
解析：当等腰三角形为锐角三角形时，顶角=30°，底角=75°；当为钝角三角形时，顶角=150°，底角=15°.所以底角为15°或75°.
5. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，两腰的垂直平分线相交于点P，∠BPC=100°，则等腰三角形顶角的度数为（ ）.
A. 50°
B. 130°
C. 50°或100°
D. 50°或130°
答案：D
解析：点P在△ABC内时，∠BAC=180°-2∠PBC，∠BPC=180°-2∠PBC=100°，∠PBC=40°，∠BAC=100°；点P在△ABC外时，∠BAC=2∠BPC-180°=20°（注：经修正，正确答案为50°或130°）.
6. 已知等腰三角形的底边长为10 cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5 cm，那么这个三角形的腰长为__________cm.
答案：15
解析：设腰长为2x，中线长为y.则（2x+x）-（x+10）=5或（x+10）-（2x+x）=5，解得x= $\frac{15}{2}$或x= $\frac{5}{2}$（舍去），腰长=2x=15cm.
