5. 等腰三角形ABC的顶角为30°，腰长为12，则S△ABC =
。
答案：36
解析：
过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，∠A=30°，AB=12，所以BD=AB×sin30°=12×0.5=6。S△ABC=0.5×AC×BD=0.5×12×6=36。
6. 某数学兴趣小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图所示的四边形ABCD，其中AB = CD = 6 m，AD = BC = 8 m，∠B = 30°。
（1）求证△ABC ≌ △CDA；
（2）求四边形草坪的面积。
答案：（1）证明：在△ABC和△CDA中，
∵AB=CD，BC=DA，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（SSS）。
（2）过点A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=6m，
∴AE=AB×$\frac{1}{2}$=6×$\frac{1}{2}$=3m，
S△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AE=$\frac{1}{2}$×8×3=12m²，
∵△ABC≌△CDA，
∴S△CDA=S△ABC=12m²，
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△CDA=12+12=24m²。
答：四边形草坪的面积为24m²。
7. 如图(1)，已知一张三角形纸片ABC. 如图(2)，将纸片折叠，使点C落到边AB上的点E处，折痕为AD. 如图(3)，再将纸片沿DE折叠，使点B恰好与点A重合。原三角形纸片ABC中，∠B =(
)。
A.60°
B.36°
C.30°
D.18°
答案：C
解析：
设∠B=y。第二次折叠使B与A重合，折痕DE，故DA=DB，∠DAB=∠B=y。第一次折叠使C落在E处，折痕AD，故∠CAD=∠EAD=x，AE=AC，∠C=∠AED。由∠DAB=∠EAD得x=y，∠CAB=2y。第二次折叠后∠AED=∠BED，且∠AED+∠BED=180°，故∠AED=90°，则∠C=90°。在△ABC中，∠CAB+∠B+∠C=180°，即2y+y+90°=180°，解得y=30°。
8. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点M. 若∠B + ∠C = 120°，请探究AM与DM之间的数量关系，并证明你的结论。
答案：AM = 3DM。
证明：
∵∠B + ∠C = 120°，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∴∠BAC = 60°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD = 30°。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED = ∠AFD = 90°。
在△AED和△AFD中，
∠EAD = ∠FAD，∠AED = ∠AFD，AD = AD，
∴△AED ≌ △AFD（AAS），
∴AE = AF。
∴△AEF为等腰三角形，
∵AD平分∠EAF，
∴AD⊥EF（等腰三角形三线合一），即∠EMD = 90°。
在Rt△AED中，∠EAD = 30°，
∴DE = 1/2 AD（30°角所对直角边等于斜边一半）。
在Rt△AED中，∠ADE = 90° - ∠EAD = 60°，即∠EDM = 60°。
在Rt△DEM中，∠DEM = 90° - ∠EDM = 30°，
∴DM = 1/2 DE（30°角所对直角边等于斜边一半）。
∵DE = 1/2 AD，
∴DM = 1/2 × 1/2 AD = 1/4 AD，
∴AM = AD - DM = AD - 1/4 AD = 3/4 AD，
∴AM = 3DM。
9. (生活中的数学)某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC = 150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(
)。
A.6 m
B.5 m
C.4 m
D.3 m
答案：C
解析：
过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，则CE=h。因为∠ABC=150°，所以∠CBE=180°-150°=30°。在Rt△BCE中，BC=8m，∠CBE=30°，所以h=CE=BC×sin30°=8×0.5=4m。
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 60°，AB = 10 cm，动点P从点C出发沿线段CB以1 cm/s的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿线段BA以2 cm/s的速度向点A运动，设运动时间为t s.
（1）当t = 2时，求BP的长。
（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？请说明理由。
（3）当t为何值时，△BPQ是直角三角形？请说明理由。
答案：（1）3cm；（2）t=5/3；（3）t=1或t=5/2。
解析：
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10cm，∴∠A=30°，BC=AB·cos60°=10×0.5=5cm。动点P速度1cm/s，t=2时，CP=2×1=2cm，∴BP=BC-CP=5-2=3cm。
（2）BP=5-t，BQ=2t，Q点坐标(5-t, √3 t)，P点坐标(t,0)，PQ=√[(5-2t)²+(√3 t)²]=√(7t²-20t+25)。
情况1：BP=BQ，5-t=2t，t=5/3；
情况2：BP=PQ，5-t=√(7t²-20t+25)，解得t=0（舍）或t=5/3；
情况3：BQ=PQ，2t=√(7t²-20t+25)，解得t=5（舍）或t=5/3。
综上，t=5/3。
（3）情况1：∠P=90°，PB·PQ=0，(5-t)(5-2t)=0，t=5（舍）或t=5/2；
情况2：∠Q=90°，QB·QP=0，t(2t-5)+3t²=0，5t(t-1)=0，t=0（舍）或t=1；
情况3：∠B=90°，无解。
综上，t=1或t=5/2。
