2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版第78页解析答案

【例】如图15.3 - 16，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A = 30°，CD ⊥ AB，垂足为D. 若BD = 2，则AB =(

)。

A.8
B.6
C.4
D.2
解析因为∠ACB为直角，∠A = 30°，
所以AB = 2BC，∠B = 90° - ∠A = 60°。
因为CD ⊥ AB，
所以∠BCD = 90° - ∠B = 30°。
所以BC = 2BD。
所以AB = 4BD = 8。
答案 A
总结只要出现含30°角的直角三角形，就可以得到斜边和直角边的2倍关系。

答案：A

解析：

在△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，所以AB = 2BC，∠B = 60°。
由于CD ⊥ AB，所以∠BCD = 30°。
在△BCD中，BC = 2BD。
因此，AB = 2BC = 2 × (2BD) = 4BD = 4 × 2 = 8。

● 跟踪练习如图15.3 - 17，在△ABC中，AB = AC，∠C = 30°，D是AB的中点，过点D作DE ⊥ AB，交BC于点E. 若DE = 1，则CE =(

)。

A.4
B.8
C.9
D.10

答案：A

解析：

∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°。
∵D是AB中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴EA=EB，∠EAB=∠B=30°。
∴∠EAC=∠BAC - ∠EAB=120° - 30°=90°，即△EAC是直角三角形。
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，DE=1，∴AE=2DE=2（30°角所对直角边是斜边一半）。
∵EA=EB，∴EB=2。
过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∴BF=FC。在Rt△ABF中，∠B=30°，设AB=2x，则AF=x，BF=√3x。
由AE=2，在Rt△ADE中，AD=AB/2=x，tan30°=DE/AD=1/x，∴x=√3，AB=2√3，BF=√3×√3=3，BC=2BF=6。
∴CE=BC - EB=6 - 2=4。

1. 如图，BC = 6 cm，∠B = ∠BAC = 15°，AD ⊥ BC，垂足为D，则AD =(

)。

A.5 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.1 cm

答案：C

解析：

在△ABC中，∵∠B=∠BAC=15°，∴AC=BC=6cm（等角对等边）。∠ACB=180°-∠B-∠BAC=150°。∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∠ACD=180°-∠ACB=30°。在Rt△ADC中，∠ACD=30°，AC=6cm，∴AD=1/2AC=3cm。

2. 如图，已知∠AOB = 60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD ⊥ OA，垂足为D，OP = 8 cm，E是射线OB上的动点，则PE的最小值为(

)。

A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm

答案：C

解析：

根据题意，∠AOB = 60°，OC平分∠AOB，因此∠AOC = 30°。
点P在OC上，PD垂直于OA，且OP = 8 cm。
在直角三角形OPD中，∠AOC = 30°，OP = 8 cm，因此PD = OP × sin(30°) = 8 × 1/2 = 4 cm。
当PE最小时，PE垂直于OB，此时PE的长度等于PD的长度，即PE = 4 cm。

3. 如图，点A，B分别在x轴和y轴上，AB = 6，∠OAB = 30°，则点B的坐标为(

)。

A.(0，3)
B.(3，0)
C.(0，2)
D.(2，0)

答案：A

解析：

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，AB=6。根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得OB=1/2AB=3。因为点B在y轴上，所以点B的坐标为(0，3)。

4. 一副三角尺按如图所示的位置叠放在一起，若AB = 16，则阴影部分的面积是(

)。

A.40
B.35
C.32
D.20

答案：C

解析：

由题意知，含30°角的直角三角尺中，∠B=30°，斜边AB=16，∠ACB=90°。根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半，得AC=AB/2=8。另一个三角尺为等腰直角三角形，∠D=45°，故∠CFD=45°。因为AC⊥BC，所以△ACF为直角三角形，且∠AFC=45°，则△ACF是等腰直角三角形，AC=CF=8。阴影部分面积=1/2×AC×CF=1/2×8×8=32。