【例3】如图15.3 - 14，在△ADB中，∠ADB = 60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC ⊥ AB，过点C作CE // DA，交DB于点E，连接AE。
求证：（1）△ADB是等边三角形；
（2）AE ⊥ DB。
证明 （1）因为DC平分∠ADB，
所以∠ADC = ∠BDC = 30°。
因为DC ⊥ AB，
所以∠DCB = ∠DCA = 90°。
所以∠B = ∠DAB = 90° - 30° = 60°。
所以∠ADB = ∠B = ∠DAB = 60°。
所以△ADB是等边三角形。
（2）因为CE // DA，△ADB是等边三角形，
所以∠CEB = ∠ADB = 60°，∠ECB = ∠DAB = 60°。
所以∠CEB = ∠CBE = ∠ECB = 60°。
所以△CEB是等边三角形。
所以CE = BE = BC。
因为△ADB是等边三角形，DC ⊥ AB，
所以BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$BD = BE。
所以E是BD的中点。
所以AE是△ADB的边BD上的中线。
又因为△ADB是等边三角形，
所以AE ⊥ BD。
总结 等边三角形的性质和判定结合在一起使用，利用性质可以得到等角和等边，从而得到想要证明的某个三角形是等边三角形的条件，其中“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”较为常用。
答案：（1）∵DC平分∠ADB，∠ADB=60°，
∴∠ADC=∠BDC=30°。
∵DC⊥AB，
∴∠DCA=∠DCB=90°。
在Rt△DCA中，∠DAB=90°-∠ADC=90°-30°=60°；
在Rt△DCB中，∠B=90°-∠BDC=90°-30°=60°。
∵∠ADB=∠DAB=∠B=60°，
∴△ADB是等边三角形。
（2）∵CE//DA，△ADB是等边三角形，
∴∠CEB=∠ADB=60°，∠ECB=∠DAB=60°。
∴∠CEB=∠CBE=∠ECB=60°，
∴△CEB是等边三角形，
∴BE=BC。
∵△ADB是等边三角形，DC⊥AB，
∴BC=1/2AB=1/2BD，
∴BE=1/2BD，即E是BD的中点。
∵△ADB是等边三角形，
∴AE⊥BD。
● 跟踪练习3 如图15.3 - 15，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在BC，CA，AB的延长线上，且CD = AE = BF。求证：△DEF是等边三角形。
答案：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°。
∵点D，E，F分别在BC，CA，AB的延长线上，CD=AE=BF，
设CD=AE=BF=k，AB=BC=CA=a，
则AF=AB+BF=a+k，BD=BC+CD=a+k，CE=CA+AE=a+k，
∴AF=BD=CE。
∵∠EAF=180°-∠BAC=180°-60°=120°，
∠FBD=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∠DCE=180°-∠BCA=180°-60°=120°，
∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°。
在△EAF和△FBD中，
$\{\begin{array}{l}AE=BF\\ ∠ EAF=∠ FBD\\ AF=BD\end{array} $，
∴△EAF≌△FBD（SAS），∴EF=FD。
在△FBD和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}BF=CD\\ ∠ FBD=∠ DCE\\ BD=CE\end{array} $，
∴△FBD≌△DCE（SAS），∴FD=DE。
∴EF=FD=DE，
∴△DEF是等边三角形。
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠BAC = 60°，要求用直尺和圆规作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等边三角形。下列作法正确的是(
)。
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，则∠B=30°，根据含30°角的直角三角形性质，AC=1/2AB。要分成两个三角形且其中一个为等边三角形，需构造有一个60°角的等腰三角形。
作AB的垂直平分线交BC于D，连接AD。由垂直平分线性质得AD=BD，故∠BAD=∠B=30°，则∠DAC=∠BAC-∠BAD=30°，∠ADC=60°。在△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°，∠ADC=60°，又因AD=BD，AC=1/2AB=AD，所以AC=AD，∠DAC=60°，△ADC为等边三角形。
