5.有长度分别为$11$，$7$，$6$，$5$的四根木条，选择其中三根组成三角形，共有
种选法.
答案：3
解析：
从四根木条中选三根，共有4种组合：①11，7，6；②11，7，5；③11，6，5；④7，6，5。根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断：
①11+7＞6，11+6＞7，7+6＞11，能组成三角形；
②11+7＞5，11+5＞7，7+5=12＞11，能组成三角形；
③11+6＞5，11+5=16＞6，6+5=11，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
④7+6＞5，7+5＞6，6+5＞7，能组成三角形。
综上，能组成三角形的选法有3种。
6.小明用四根长度分别为$2cm$，$3cm$，$4cm$，$5cm$的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是(
).
A.$12cm$
B.$11cm$
C.$10cm$
D.$9cm$
答案：C
解析：
从四根小棒中任取三根，有以下四种组合：
1. 2cm，3cm，4cm：2+3＞4，能组成三角形，周长为2+3+4=9cm；
2. 2cm，3cm，5cm：2+3=5，不能组成三角形；
3. 2cm，4cm，5cm：2+4＞5，能组成三角形，周长为2+4+5=11cm；
4. 3cm，4cm，5cm：3+4＞5，能组成三角形，周长为3+4+5=12cm。
综上，可能的周长为9cm、11cm、12cm，不可能是10cm。
7.已知等腰三角形的周长为$16$，且一边长为$3$，则腰长为(
).
A.$3$
B.$10$
C.$6.5$
D.$3$或$6.5$
答案：C
解析：
本题可分情况讨论已知边长$3$是等腰三角形的腰长还是底边长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出腰长。
情况一：当$3$为腰长时
已知等腰三角形腰长为$3$，根据等腰三角形两腰相等以及其周长为$16$，可得底边长为$16 - 3 - 3 = 10$。
此时三角形三边分别为$3$，$3$，$10$。
因为$3 + 3 = 6＜ 10$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，所以这种情况不成立。
情况二：当$3$为底边长时
设腰长为$x$，由于等腰三角形两腰相等，根据周长为$16$，可得$2x + 3 = 16$，
移项可得$2x=16 - 3 = 13$，
两边同时除以$2$，解得$x = 6.5$。
此时三角形三边分别为$6.5$，$6.5$，$3$。
因为$6.5 + 3 = 9.5＞ 6.5$，$6.5 + 6.5 = 13＞ 3$，满足三角形三边关系，所以这种情况成立，即腰长为$6.5$。
8.(创新考法)数学老师有长度分别为$m$，$n$的两根小棒(如图)，如果要把其中一根剪成两段，那么下列剪法中，三根小棒一定能围成三角形的是(
).
A.将长为$m$的小棒正中间剪一刀
B.将长为$n$的小棒正中间剪一刀
C.将长为$m$的小棒任意剪一刀
D.将长为$n$的小棒任意剪一刀
答案：B
解析：
要使三根小棒能围成三角形，需满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。
选项A：剪m为两段$\frac{m}{2}$、$\frac{m}{2}$，三边为$\frac{m}{2}$、$\frac{m}{2}$、n。需满足$\frac{m}{2}+\frac{m}{2}＞n$即$m＞n$，若$m≤ n$则不成立，故A不一定能围成。
选项B：剪n为两段$\frac{n}{2}$、$\frac{n}{2}$，三边为$\frac{n}{2}$、$\frac{n}{2}$、m。需满足$\frac{n}{2}+\frac{n}{2}＞m$即$n＞m$，因题目隐含n为较长边（结合图形常规设定），则$n＞m$恒成立，且$\frac{n}{2}+m＞\frac{n}{2}$（$m＞0$），故B一定能围成。
选项C：任意剪m，设两段为a、b（$a+b=m$），若$m≤ n$，则$a+b=m≤ n$，不满足两边之和大于第三边，故C不一定能围成。
选项D：任意剪n，设两段为a、b（$a+b=n$），若剪得一段接近n、一段接近0，则接近0的段与m之和可能小于另一段，故D不一定能围成。
9.(知识应用)若三边均不相等的三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a - b ＞ b - c$($a$为最长边的长，$c$为最短边的长)，则称它为“不均衡三角形”.例如，一个三角形的三边长分别为$14$，$10$，$8$，因为$14 - 10 ＞ 10 - 8$，所以这个三角形为“不均衡三角形”.
(1)下列$4$组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为
(填序号).
①$3cm$，$2cm$，$1cm$；
②$13cm$，$18cm$，$9cm$；
③$15cm$，$20cm$，$15cm$；
④$9cm$，$8cm$，$6cm$.
(2)已知“不均衡三角形”的三边长分别为$2x + 2$，$16$，$2x - 6$($x$为整数)，求$x$的值.
答案：(1) ②；(2) $x=10,12,13,14$。
解析：
(1) ②
(2) 由题意，三角形三边长为$2x + 2$，$16$，$2x - 6$，需满足：三边均不相等，构成三角形，且$a - b ＞ b - c$（$a$最长，$c$最短）。
条件分析：
1. 边长为正：$2x - 6 ＞ 0 ⇒ x ＞ 3$。
2. 三边不等：$2x + 2 ≠ 16$（$x ≠ 7$），$2x - 6 ≠ 16$（$x ≠ 11$），$2x + 2 ≠ 2x - 6$（恒成立）。
3. 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。
4. 不均衡条件：$a - b ＞ b - c$。
分类讨论：
情况1：最长边为$2x + 2$（$2x + 2 ≥ 16⇒ x ≥ 7$，$x ＞ 7$，$x ≠ 7$）
子情况1：$2x - 6 ＜ 16⇒ x ＜ 11$（$7 ＜ x ＜ 11$，$x$整数：8,9,10）
此时$a=2x+2$，$b=16$，$c=2x-6$。
不均衡条件：$(2x+2)-16 ＞ 16-(2x-6)⇒ 2x - 14 ＞ 22 - 2x⇒ 4x ＞ 36⇒ x ＞ 9$。
故$x=10$。
子情况2：$2x - 6 ＞ 16⇒ x ＞ 11$（$x ＞ 11$，$x$整数：12,13,14,...）
此时$a=2x+2$，$b=2x-6$，$c=16$。
不均衡条件：$(2x+2)-(2x-6) ＞ (2x-6)-16⇒ 8 ＞ 2x - 22⇒ x ＜ 15$。
故$x=12,13,14$。
情况2：最长边为$16$（$16 ≥ 2x + 2⇒ x ≤ 7$，$x ＜ 7$，$x$整数：4,5,6）
此时$a=16$，$b=2x+2$，$c=2x-6$。
不均衡条件：$16-(2x+2) ＞ (2x+2)-(2x-6)⇒ 14 - 2x ＞ 8⇒ x ＜ 3$，与$x ＞ 3$矛盾，无解。
综上，$x=10,12,13,14$。
