3. 如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E. 若AC=5，△AEC的周长为17，则BC=（ ）.
A. 17 B. 12 C. 10 D. 22
答案：B
解析：由作图可知MN是AB的垂直平分线，所以AE=BE。△AEC的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=17，因为AC=5，所以BC=17-5=12。
4. 如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？
答案：汽车行驶到线段MN的垂直平分线与公路AB的交点处时，与村庄M，N的距离相等。
解析：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以作MN的垂直平分线，其与AB的交点即为所求位置。
5. 如图，在△ABC中，BC=16，AB的垂直平分线交边BC于点F，AC的垂直平分线交边BC于点H，则△AFH的周长是（ ）.
A. 6 B. 10 C. 16 D. 20
答案：C
解析：因为AB的垂直平分线交BC于F，所以AF=BF；AC的垂直平分线交BC于H，所以AH=CH。△AFH的周长=AF+FH+AH=BF+FH+CH=BC=16。
6. 如图，某地有两所大学和两条相交的公路（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）. 现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等. 你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案.
答案：仓库应建在∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点处（图略）。
解析：到两条公路距离相等的点在这两条公路所成角的平分线上，到两所大学距离相等的点在线段MN的垂直平分线上，所以两者的交点即为仓库位置。
7.（创新考法）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. 按下列步骤作图：分别以点A，B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q，作直线PQ，交AC于点D，交AB于点E，连接BD. 下列结论：①AD=BD；②∠CBD=30°；③$S_{\triangle ABC}=4S_{\triangle BCD}$，其中正确的个数为（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案：D
解析：①由作图可知PQ是AB的垂直平分线，所以AD=BD，正确；②因为∠A=30°，AD=BD，所以∠ABD=∠A=30°，∠ABC=60°，则∠CBD=∠ABC-∠ABD=30°，正确；③设BC=a，AC=$\sqrt{3}a$，AB=2a，AD=BD=2a/2=a，CD=AC-AD=$\sqrt{3}a - a$，$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}×BC×CD=\frac{1}{2}×a×(\sqrt{3}a - a)$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×a×\sqrt{3}a$，经计算可得$S_{\triangle ABC}=4S_{\triangle BCD}$，正确。故正确个数为3个。
8.（运算能力）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为边CD的中点，连接AE，并延长AE交BC的延长线于点F.（1）求证CF=AD；（2）若AD=2，AB=6，则当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？
答案：（1）证明：因为AD//BC，所以∠D=∠ECF，∠DAE=∠F。又因为E为CD中点，所以DE=CE。在△ADE和△FCE中，$\begin{cases}∠D=∠ECF \\∠DAE=∠F \\DE=CE\end{cases}$，所以△ADE≌△FCE（AAS），故CF=AD；（2）BC=4
解析：（2）因为点B在线段AF的垂直平分线上，所以AB=BF。由（1）知CF=AD=2，BF=BC+CF=BC+2，AB=6，所以BC+2=6，BC=4。
