4. 如图，一辆汽车在笔直的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M，N 分别是位于公路 AB 两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄 M，N 的距离相等？
答案：设汽车行驶到点$C$时，与村庄$M$，$N$的距离相等，即$MC = NC$，
连接$MC$，$NC$，$MN$，
根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
所以点$C$应在线段$MN$的垂直平分线上，
而公路$AB$与村庄$M$，$N$构成平面，
所以过$M$，$N$两点作直线$MN$，再作线段$MN$的垂直平分线$l$，垂直平分线$l$与公路$AB$的交点$C$即为所求位置。
综上，当汽车行驶到线段$MN$的垂直平分线与公路$AB$的交点位置时，与村庄$M$，$N$的距离相等。
5. 如图，在△ABC 中，BC=16，AB 的垂直平分线交边 BC 于点 F，AC 的垂直平分线交边 BC 于点 H，则△AFH 的周长是(
)。
A.6
B.10
C.16
D.20
答案：C
解析：
由于 $AB$ 的垂直平分线交 $BC$ 于点 $F$，根据垂直平分线的性质，知道 $FA = FB$（垂直平分线上的点到线段的两端距离相等）。
同理，由于 $AC$ 的垂直平分线交 $BC$ 于点 $H$，可以得到 $HA = HC$。
现在，考虑三角形 $AFH$ 的周长，它由三部分组成：$AF$，$FH$，和 $HA$。
由于 $FA = FB$ 和 $HA = HC$，可以将 $AF$ 和 $HA$ 分别替换为 $FB$ 和 $HC$，得到三角形 $AFH$ 的周长为 $FB + FH + HC$。
注意到 $FB + FH + HC$ 实际上就是线段 $BC$ 的长度，即 $16$。
所以，三角形 $AFH$ 的周长为 $16$。
6. 如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路（点 M，N 表示大学，AO，BO 表示公路）。现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案。
答案：1. 作两条公路 $AO$ 和 $BO$ 的角平分线 $OC$。
2. 连接两所大学 $M$ 和 $N$，并作线段 $MN$ 的垂直平分线 $EF$。
3. 垂直平分线 $EF$ 与角平分线 $OC$ 的交点 $P$ 即为仓库的位置。
在图中标出点 $P$ 的位置。
7. (创新考法) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°。按下列步骤作图：分别以点 A，B 为圆心，大于 $\frac{1}{2}AB$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 P，Q，作直线 PQ，交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD。下列结论：① AD=BD；② ∠CBD=30°；③ S△ABC=4S△BCD。其中正确的个数为(
)。
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：
由作图步骤知，PQ是AB的垂直平分线，故DE垂直平分AB。
①∵D在PQ上，∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到两端距离相等），①正确；
②在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°。∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°，②正确；
③设BC=x，∠A=30°，则AB=2x，AC=√3x。设CD=y，则AD=BD=√3x-y。在Rt△BCD中，BD²=BC²+CD²，即(√3x-y)²=x²+y²，解得y=x/√3。∴S△BCD=1/2·x·(x/√3)=x²/(2√3)，S△ABC=1/2·√3x·x=√3x²/2，∴S△ABC=3S△BCD，③错误。
综上，正确结论为①②，共2个。
8. (运算能力) 如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC，E 为边 CD 的中点，连接 AE，并延长 AE 交 BC 的延长线于点 F。
(1) 求证 CF=AD。
(2) 若 AD=2，AB=6，则当 BC 的长为多少时，点 B 在线段 AF 的垂直平分线上？为什么？
答案：(1)
因为 $AD // BC$，
所以 $∠ DAE = ∠ F$，$∠ D = ∠ ECF$，
因为 $E$ 是 $CD$ 的中点，
所以 $DE = CE$，
在 $△ ADE$ 和 $△ FCE$ 中，
$\begin{matrix}∠ DAE = ∠ F ,\\∠ D = ∠ ECF ,\\DE = CE.\end{matrix}$
所以 $△ ADE ≌ △ FCE$（AAS），
所以 $CF = AD$。
(2)
因为点 $B$ 在线段 $AF$ 的垂直平分线上，
所以 $AB = BF$，
因为 $AB = 6$，$AD = 2$，
由 (1) 知 $CF = AD = 2$，
所以 $BF = BC + CF = BC + 2$，
所以 $BC + 2 = 6$，
所以 $BC = 4$，
即当 $BC$ 的长为 $4$ 时，点 $B$ 在线段 $AF$ 的垂直平分线上。
