6. 如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线 $l_1$ 交 BC 于点 D，边 AC 的垂直平分线 $l_2$ 交 BC 于点 E，$l_1$ 与 $l_2$ 相交于点 O，连接 OA，OB，OC。若△ADE 的周长为 9 cm，△OBC 的周长为 21 cm，求 BC，OA 的长。
答案：∵l₁是AB的垂直平分线，∴DA=DB（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵l₂是AC的垂直平分线，∴EA=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
△ADE的周长=AD+DE+AE=DB+DE+EC=BC，∵△ADE周长为9cm，∴BC=9cm。
∵O在l₁上，∴OA=OB；O在l₂上，∴OA=OC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
△OBC的周长=OB+OC+BC=21cm，BC=9cm，∴OB+OC=21-9=12cm。
∵OB=OA，OC=OA，∴OA+OA=12cm，∴OA=6cm。
BC=9cm，OA=6cm。
7. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠B=90°，AB=25 cm，AD=15 cm，BC=10 cm。动点 P 从点 A 出发，以 2 cm/s 的速度向点 B 运动，设运动的时间为 x s。
(1) 求证：当 x=5 时，点 P 在线段 CD 的垂直平分线上。
(2) 当 x=5 时，判断 DP 与 CP 的位置关系，并说明理由。
答案：(1) 当x=5时，AP=2×5=10cm，PB=AB-AP=25-10=15cm。
在Rt△ADP中，AD=15cm，AP=10cm，由勾股定理得：
PD²=AD²+AP²=15²+10²=225+100=325，∴PD=√325。
在Rt△BCP中，BC=10cm，PB=15cm，由勾股定理得：
PC²=BC²+PB²=10²+15²=100+225=325，∴PC=√325。
∵PD=PC，∴点P在线段CD的垂直平分线上。
(2) DP⊥CP。理由如下：
过点D作DE⊥BC交BC延长线于E，
则四边形ABED为矩形，DE=AB=25cm，BE=AD=15cm，
CE=BE-BC=15-10=5cm。
在Rt△DEC中，CD²=DE²+CE²=25²+5²=625+25=650。
∵PD²+PC²=325+325=650=CD²，
∴△DPC为直角三角形，∠DPC=90°，即DP⊥CP。
8. (1)【发现问题】如图 (1)，在△ABE 与△ACF 中，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF，B，F，C 三点在同一条直线上，连接 EF 交 AB 于点 D。求线段 BC 与 ED，DF 的数量关系，并说明理由。
(2)【类比探究】如图 (2)，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以 AC 为边，作△ACD，满足 AD=AC，E 为 BC 上一点，连接 AE，2∠BAE=∠CAD，连接 DE。求证 DE=CE+2BE。
答案：(1) BC=ED+DF。理由：∵∠BAE=∠CAF，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，即∠BAC=∠EAF。在△ABC和△AEF中，$\{\begin{array}{l}AB=AE\\ ∠ BAC=∠ EAF\\ AC=AF\end{array} $，∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴BC=EF。∵E，D，F三点共线，∴EF=ED+DF，∴BC=ED+DF。
(2) 证明：延长EB至F，使BF=BE，连接AF。∵∠ABC=90°，∴AB垂直平分EF，∴AE=AF，∠BAF=∠BAE。设∠BAE=α，则∠CAD=2α，∠EAF=2α，∴∠EAF=∠CAD。∴∠EAF+∠CAE=∠CAD+∠CAE，即∠CAF=∠DAE。在△DAE和△CAF中，$\{\begin{array}{l}AD=AC\\ ∠ DAE=∠ CAF\\ AE=AF\end{array} $，∴△DAE≌△CAF(SAS)，∴DE=CF。∵CF=CE+EF，EF=BE+BF=2BE，∴DE=CE+2BE。
