4. 如图，在四边形 ABCD 中，DE⊥BC；BD 平分∠ABC，AD=CD，BE=4，DE=3，CE=1，则△ABD 的面积是(
)。
A.4
B.4.5
C.5
D.9
答案：B
解析：
过点D作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DF=DE=3（角平分线性质）。在Rt△BDE中，BD=√(BE²+DE²)=√(4²+3²)=5。在Rt△DEC中，CD=√(DE²+CE²)=√(3²+1²)=√10，∵AD=CD，∴AD=√10。在Rt△AFD中，AF=√(AD²-DF²)=√(10-9)=1。由△BDF≌△BDE（SAS）得BF=BE=4，∴AB=BF-AF=4-1=3。△ABD面积=1/2×AB×DF=1/2×3×3=4.5。
5. 如图，点 A，F，E，C 在同一条直线上，AF=CE 且 AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，垂足分别为 F，E，BD 与 AC 相交于点 G，BG=10。
(1) 求证 AB//CD；
(2) 求 DG 的长。
答案：(2) 10
解析：
(1) 证明：
∵ BF⊥AC，DE⊥AC，
∴ ∠AFB=∠CED=90°。
∵ AF=CE，AB=CD，
∴ Rt△AFB≌Rt△CED（HL）。
∴ ∠A=∠C。
∴ AB//CD。
(2) 解：
∵ Rt△AFB≌Rt△CED，
∴ BF=DE。
∵ ∠BGF=∠DGE，∠BFG=∠DEG=90°，
∴ △BFG≌△DEG（AAS）。
∴ DG=BG=10。
6. （生活中的数学）如图，池塘两端 A，B 的距离无法直接测量，请同学们设计测量 A，B 之间距离的方案。
琪琪的方案：如图（1），先在平地上选一个可以直接到达 A，B 的点 O，然后连接 AO 和 BO，接着分别延长 AO 和 BO 到点 C，D，并且使 CO=AO，DO=BO，最后连接 CD，测出 CD 的长即可。
嘉嘉的方案：如图（2），先确定直线 AB，过点 B 作 AB 的垂线 BE，在 BE 上选取一个可以直接到达点 A 的点 D，连接 AD，在线段 AB 的延长线上找一点 C，使 DC=DA，测出 BC 的长即可。
你认为以上两种方案可行吗？请说明理由。
答案：两种方案都可行，理由如下：
琪琪的方案：
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$AO = CO$，$∠ AOB = ∠ COD$，$BO = DO$，
根据$SAS$（边角边）全等条件，$△ AOB ≌ △ COD$，
所以$AB = CD$，
因此，测出$CD$的长即可知道$AB$的距离。
嘉嘉的方案：
在$△ ABD$和$△ CBD$中，
$AD = CD$，$AB \bot BE$，
即$∠ ABD = ∠ CBD = 90°$，
$BD = BD$（公共边），
根据$HL$（斜边、直角边）全等条件（或更一般地，可以视为$SAS$在直角三角形中的特例，
但八年级上册通常已学习$HL$），$△ ABD ≌ △ CBD$，
所以$AB = BC$（全等三角形的对应边相等，这里实际上我们要求的是$AB$，
而通过测量$BC$得到，因为$AB$与$BC$在此情况下相等），
题目要求测$BC$，而由方案知$AB=BC$，
因此测出$BC$的长即为$AB$的距离。
