4. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在边BC上，且DC=3BD，点E，F在线段AD上，满足∠BED=∠CFD=∠BAC. 若S△ABC=24，则S△ABE+S△CDF= .
答案：6
解析：设BD=x，则DC=3x，BC=4x。作AG⊥BC于G，S△ABC=$\frac{1}{2}$×4x×AG=24，得2x·AG=24。通过构造全等三角形可证S△ABE+S△CDF=$\frac{1}{4}$S△ABC=6。
5. 如图，D是△ABC的边BC上一点，点F在BC的延长线上，EF⊥AD，垂足为E，且EF平分∠AFB，∠B=∠FAC.
求证：（1）AF=DF；（2）AD是△ABC的角平分线.
答案：（1）证明：∵EF平分∠AFB，∴∠AFE=∠DFE。∵EF⊥AD，∴∠AEF=∠DEF=90°。在△AEF和△DEF中，∠AFE=∠DFE，EF=EF，∠AEF=∠DEF，∴△AEF≌△DEF（ASA），∴AF=DF。
（2）证明：由（1）知AF=DF，∴∠FAD=∠FDA。∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠B=∠FAC，∴∠BAD=∠CAD，∴AD是△ABC的角平分线。
6. （数学模型）已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA=CB，E，F是直线CD上的两点，且∠BEC=∠CFA=α.
（1）【观察猜想】如图（1），当直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上时，若∠BCA=α=90°，则BE CF，BE-AF EF.（填“＞”“＜”或“=”）.
（2）【类比探究】如图（2），在（1）的条件下，若∠BCA+α=180°，则（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（3）【反思提升】如图（3），当直线CD不经过∠BCA的内部，且∠BCA=α时，若EF=8，AF=5，求BC的取值范围.
答案：（1）=，=
（2）成立。证明：∵∠BCA+α=180°，∠BEC=∠CFA=α，∴∠BCE=∠CAF。在△BCE和△CAF中，∠BEC=∠CFA，∠BCE=∠CAF，CA=CB，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE=CF，CE=AF，∴BE-AF=CF-CE=EF。
（3）3＜BC＜13
解析：由全等得CF=BE，CE=AF=5，EF=8，∴CF=CE+EF=13或CF=|CE-EF|=3，∵CA=CB，CA=CF，∴3＜BC＜13。
