4. 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，AB＞BC，点 D 在边 BC 上，且 DC=3BD，点 E，F 在线段 AD 上，满足∠BED=∠CFD=∠BAC。若$ S_{△ABC}=24，$则$ S_{△ABE}+S_{△CDF}=$
。
答案：18
解析：
过点B作BP⊥AD于P，过点C作CQ⊥AD于Q。
∵DC=3BD，S△ABC=24，∴S△ABD=6，S△ADC=18，且BP:CQ=1:3（等高，面积比=底边比）。
∵∠BED=∠CFD=∠BAC=α，∴∠AEB=∠AFC=180°-α。
在△ABE中，∠BAE+∠ABE=α；在△ABC中，∠BAE+∠EAC=α，故∠ABE=∠EAC。
同理，∠BAF=∠ACF。
在△ABE和△CAF中，∠BAE=∠ACF，AB=AC，∠ABE=∠CAF，∴△ABE≌△CAF（ASA），则S△ABE=S△CAF。
∵F在AD上，∴S△CAF+S△CDF=S△ADC=18，故S△ABE+S△CDF=18。
5. 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，点 F 在 BC 的延长线上，EF⊥AD，垂足为 E，且 EF 平分∠AFB，∠B=∠FAC。
求证：
(1) AF=DF；
(2) AD 是△ABC 的角平分线。
答案：(1) ∵EF平分∠AFB，∴∠AFE=∠DFE。
∵EF⊥AD，∴∠AEF=∠DEF=90°。
在△AEF和△DEF中，
∠AFE=∠DFE，EF=EF，∠AEF=∠DEF，
∴△AEF≌△DEF(ASA)，∴AF=DF。
(2) ∵AF=DF，∴∠FAD=∠FDA。
∵∠FDA是△ABD的外角，∴∠FDA=∠B+∠BAD。
∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∴∠FAC+∠CAD=∠B+∠BAD。
∵∠B=∠FAC，∴∠CAD=∠BAD，即AD平分∠BAC，
∴AD是△ABC的角平分线。
6. (数学模型)已知 CD 是经过∠BCA 的顶点 C 的一条直线，CA=CB，E，F 是直线 CD 上的两点，且∠BEC=∠CFA=α。
(1)【观察猜想】如图(1)，当直线 CD 经过∠BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上时，若∠BCA=α=90°，则 BE
CF，BE-AF
EF。(填“＞”“＜”或“=”。)
(2)【类比探究】如图(2)，在(1)的条件下，若∠BCA+α=180°，则(1)中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
(3)【反思提升】如图(3)，当直线 CD 不经过∠BCA 的内部，且∠BCA=α 时，若 EF=8，AF=5，求 BC 的取值范围。
答案：(1)=；=
(2)成立。证明：∵∠BCA+α=180°，∠BEC=∠CFA=α，∴∠BCE+∠ACF=∠BCA=180°-α。在△BEC中，∠EBC+∠BCE=180°-α，∴∠EBC=∠ACF。在△BEC和△CFA中，∠BEC=∠CFA，∠EBC=∠FCA，CB=CA，∴△BEC≌△CFA(AAS)，∴BE=CF，EC=FA，∴BE-AF=CF-EC=EF。
(3)2＜BC＜8
