1. 如图，$AD$，$AE$ 分别是$△ ABC$的高和中线，已知$AD = 6 cm$，$CE = 8 cm$，则$△ ABC$的面积为
.
答案：48 $ \mathrm{cm}^2 $
解析：
由题意知，$ AD $ 是三角形的高，因此 $ AD $ 垂直于 $ BC $。
$ AE $ 是三角形的中线，因此 $ E $ 是 $ BC $ 的中点。
已知 $ CE = 8 \mathrm{cm} $，所以 $ BC = 2 × CE = 16 \mathrm{cm} $。
三角形 $ ABC $ 的面积为：
$ \mathrm{面积} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 16 \mathrm{cm} × 6 \mathrm{cm} = 48 \mathrm{cm}^2 $。
2. 如图，$AD$是$△ ABC$的边$BC$上的高，$AE$是$∠ BAC$的平分线.
(1)若$∠ B = 46^{\circ}$，$∠ BAC = 60^{\circ}$，则$∠ AED$的度数为
；
(2)若$∠ B = α$，$∠ C = β$($α ＜ β$)，用含$α$，$β$的代数式表示$∠ DAE$的度数为
.
答案：76°；(β-α)/2
解析：
(1) 在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=46°，则∠C=180°-60°-46°=74°。
AE平分∠BAC，故∠BAE=∠EAC=60°÷2=30°。
AD是高，∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B=90°-46°=44°。
∠DAE=∠BAD-∠BAE=44°-30°=14°。
在Rt△ADE中，∠AED=90°-∠DAE=90°-14°=76°。
(2) ∠BAC=180°-α-β，AE平分∠BAC，∠BAE=(180°-α-β)/2=90°-(α+β)/2。
AD是高，∠BAD=90°-α。
∠DAE=∠BAD-∠BAE=(90°-α)-[90°-(α+β)/2]=(β-α)/2。
3. 如图，$CE$是$△ ABC$的中线，$CD$是$△ ABC$的高，$AC = 12 cm$，$BC = 5 cm$，$AB = 13 cm$，$∠ ACB = 90^{\circ}$.
（1）求高$CD$的长；
（2）求$△ ACE$的面积.
答案：(1)
因为$∠ ACB = 90^{\circ},CD$是$AB$边上的高，
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab$（$a,b$为直角边）以及$S=\frac{1}{2}ch$（$c$为斜边，$h$为斜边上的高）可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
已知$AC = 12cm$，$BC = 5cm$，$AB = 13cm$，
则$12×5 = 13× CD$，
解得$CD=\frac{60}{13}cm$。
(2)
因为$CE$是$AB$边的中线，
所以$AE=\frac{1}{2}AB$，
$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
又因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×12×5 = 30cm^{2}$，
所以$S_{△ ACE}=15cm^{2}$。
综上，高$CD$的长为$\frac{60}{13}cm$，$△ ACE$的面积为$15cm^{2}$。
4. 如图，$P$是$△ ABC$内一点，$∠ A = 80^{\circ}$，$BP$，$CP$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线，则$∠ BPC =$(
).
A.$140^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$131^{\circ}$
D.$100^{\circ}$
答案：B
解析：
$\because ∠ A = 80°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 100°$。
$\because BP$和$CP$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线，
$\therefore ∠ PBC = \frac{1}{2} ∠ ABC, ∠ PCB = \frac{1}{2} ∠ ACB$，
$\therefore ∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2} (∠ ABC + ∠ ACB) = 50°$。
$\therefore ∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 130°$。
5. 如图，在$△ ABC$中，$O$是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线的交点. 若$∠ A = α$，则$∠ BOC =$
(用含$α$的代数式表示).
答案：90°+α/2
解析：
在△ABC中，∠A=α，所以∠ABC+∠ACB=180°-α。因为BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，故∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2(180°-α)=90°-α/2。在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-α/2)=90°+α/2。
6. 已知$△ ABC$中，$∠ A = 60^{\circ}$.
(1)在图(1)中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线相交于点$O_1$，则$∠ BO_1C =$
；
(2)在图(2)中，设$∠ ABC$，$∠ ACB$的两条三等分线分别对应相交于点$O_1$，$O_2$，得到$∠ BO_2C$，则$∠ BO_2C =$
；
(3)在图(3)中，请你猜想，当$∠ ABC$，$∠ ACB$同时被$n$等分时，$(n - 1)$条等分线分别对应相交于点$O_1$，$O_2$，$·s$，$O_{n - 1}$，则$∠ BO_{n - 1}C =$
(用含$n$的代数式表示).
答案：120°；100°；60°+120°/n
解析：
(1) 在△ABC中，∠A=60°，则∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°。BO₁、CO₁分别平分∠ABC、∠ACB，故∠O₁BC+∠O₁CB=½(∠ABC+∠ACB)=60°。在△BO₁C中，∠BO₁C=180°-60°=120°。
(2) 设∠ABC=3β，∠ACB=3γ，则3β+3γ=120°，β+γ=40°。O₂为∠ABC、∠ACB第二条三等分线交点，∠O₂BC=2β，∠O₂CB=2γ，故∠O₂BC+∠O₂CB=2(β+γ)=80°。在△BO₂C中，∠BO₂C=180°-80°=100°。
(3) 设∠ABC=nβ，∠ACB=nγ，则nβ+nγ=120°，β+γ=120°/n。Oₙ₋₁为第(n-1)条等分线交点，∠Oₙ₋₁BC=(n-1)β，∠Oₙ₋₁CB=(n-1)γ，故∠Oₙ₋₁BC+∠Oₙ₋₁CB=(n-1)(β+γ)=120°(n-1)/n。在△BOₙ₋₁C中，∠BOₙ₋₁C=180°-120°(n-1)/n=60°+120°/n。
