跟踪练习2 一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个人字梯(示意图如图13.3-12所示)，爸爸说：“李明，我考考你，如果这个人字梯中的$∠3=110^{\circ}$，你能求出$∠1$比$∠2$大多少吗?”请你帮李明计算一下，正确的答案是(
).
A.$80^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$50^{\circ}$
答案：B
解析：
设∠3的邻补角为∠4，则∠3+∠4=180°，∠4=180°-110°=70°。∠1是三角形的外角，∠1=∠2+∠4，故∠1-∠2=∠4=70°。
1. 如图，点$D$在线段$BC$的延长线上，过点$B$作射线$BF$，交$AC$于点$E$，则下列角是$△ ABE$的外角的是(
).
A.$∠ AEF$
B.$∠ CBE$
C.$∠ ACD$
D.$∠ CEF$
答案：A
解析：
根据三角形外角的定义，三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。对于△ABE，其外角应是由三角形的一边延长后与另一边组成的角。
选项A：∠AEF，是△ABE的边AE的延长线与边BE组成的角，符合外角定义。
选项B：∠CBE是△BCE的内角，不是△ABE的外角。
选项C：∠ACD是△ABC的外角，与△ABE无关。
选项D：∠CEF是△BCE的内角，不是△ABE的外角。
综上，是△ABE外角的是∠AEF。
2. 如图，已知$∠ ACD=120^{\circ}$，$∠ B=20^{\circ}$，则$∠ A=$(
).
A.$120^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案：C
解析：
根据三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。在题目中，$∠ ACD$ 是三角形 $ABC$ 的一个外角，因此有：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$，
给定 $∠ ACD = 120°$ 和 $∠ B = 20°$，代入上式得：
$120° = ∠ A + 20°$，
解这个方程，得到：
$∠ A = 100°$。
故答案为C。
3. 将一副三角尺按如图所示的位置叠放，则$∠ CBE=$(
).
A.$110^{\circ}$
B.$105^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.$90^{\circ}$
答案：B
解析：
由图可知，含30°角的三角尺中∠F=30°，∠FAB=90°，含45°角的三角尺中∠E=45°，∠EDC=90°。因为∠FAB=90°，∠F=30°，所以∠FBA=180°-90°-30°=60°。又因为∠FBA+∠ABC=180°（平角定义），所以∠ABC=180°-60°=120°。在含45°角的三角尺中，∠EBC=45°，所以∠CBE=∠ABC-∠EBC=120°-15°=105°。
4. 如图，$BE$为$△ ABC$的外角$∠ CBD$的平分线.若$∠ A=50^{\circ}$，$∠ C=62^{\circ}$，则$∠ EBD=$(
).
A.$50^{\circ}$
B.$56^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
答案：B
解析：
已知$∠ A=50^{\circ}$，$∠ C=62^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$∠ ABC = 180^{\circ}-∠ A - ∠ C=180^{\circ}-50^{\circ}-62^{\circ}=68^{\circ}$。
那么$△ ABC$的外角$∠ CBD$的度数为$180^{\circ}-∠ ABC = 180^{\circ}- 68^{\circ}=112^{\circ}$。
因为$BE$是$∠ CBD$的平分线，所以$∠ EBD=\frac{1}{2}∠ CBD=\frac{1}{2}×112^{\circ}=56^{\circ}$。
5. 小华在上数学课时看到同桌将一副三角尺按如图所示的位置叠放，则$∠ AOB=$
.
答案：75°
解析：
由图可知，含30°角的直角三角尺中，∠ACO=90°，∠A=60°，则∠AOC=180°-90°-60°=30°；含45°角的直角三角尺中，∠BCO=45°，∠B=90°，则∠BOC=180°-90°-45°=45°。因为∠AOB=∠AOC+∠BOC，所以∠AOB=30°+45°=75°。
6. 如图，$CE$是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，且$CE$交$BA$的延长线于点$E$.
（1）若$∠ B=35^{\circ}$，$∠ E=25^{\circ}$，求$∠ BAC$的度数；
（2）探究$∠ BAC$，$∠ B$，$∠ E$之间的数量关系，并说明理由.
答案：（1）∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠ECD。
∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠B+∠BAC，∴∠ECD=1/2∠ACD=1/2(∠B+∠BAC)。
∵∠ECD是△BCE的外角，∴∠ECD=∠B+∠E。
∴1/2(∠B+∠BAC)=∠B+∠E。
∵∠B=35°，∠E=25°，∴1/2(35°+∠BAC)=35°+25°，解得∠BAC=85°。
（2）∠BAC=∠B+2∠E。
理由：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=1/2∠ACD。
∵∠ACD=∠B+∠BAC，∴∠ECD=1/2(∠B+∠BAC)。
∵∠ECD=∠B+∠E，∴1/2(∠B+∠BAC)=∠B+∠E，∴∠BAC=∠B+2∠E。
