1. 下列式子从左到右的变形错误的是(
).
A.$\frac{am}{bm}=\frac{a}{b}$
B.$\frac{y}{x}=-\frac{-y}{x}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{a + 1}{b + 1}$
D.$\frac{y}{x}=-\frac{-y}{-x}$
答案：CD
解析：
A. 当$m≠0$时，$\frac{am}{bm}=\frac{a}{b}$，变形正确；
B. $-\frac{-y}{x}=\frac{y}{x}$，变形正确；
C. $\frac{a}{b}≠\frac{a + 1}{b + 1}$，例如$a=1$，$b=2$时，$\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}$，变形错误；
D. $-\frac{-y}{-x}=-\frac{y}{x}≠\frac{y}{x}$，变形错误。
2. 若把分式$\frac{x + y}{xy}$中的$x$和$y$都扩大到原来的2倍，那么分式的值(
).
A.扩大为原来的2倍
B.不变
C.缩小为原来的$\frac{1}{4}$
D.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
答案：D
解析：
将$x$和$y$都扩大到原来的2倍，新分式为$\frac{2x + 2y}{(2x)(2y)} = \frac{2(x + y)}{4xy} = \frac{x + y}{2xy} = \frac{1}{2} · \frac{x + y}{xy}$，所以分式的值缩小为原来的$\frac{1}{2}$。
3. 下列分式不是最简分式的是(
).
A.$\frac{x^2}{y^2}$
B.$\frac{2x + y}{2xy + y^2}$
C.$\frac{a + 2}{a - 3}$
D.$\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$
答案：B
解析：
最简分式是分子与分母没有公因式的分式。
A. $\frac{x^2}{y^2}$，分子分母无公因式，是最简分式；
B. $\frac{2x + y}{2xy + y^2} = \frac{2x + y}{y(2x + y)}$，分子分母有公因式$(2x + y)$，不是最简分式；
C. $\frac{a + 2}{a - 3}$，分子分母无公因式，是最简分式；
D. $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \frac{x^2 + y^2}{(x + y)(x - y)}$，分子分母无公因式，是最简分式。
4. 化简$\frac{4m - m^2}{m^2 - 8m + 16}$的结果是(
).
A.$m$
B.$4 - m$
C.$\frac{m}{4 - m}$
D.$\frac{m}{m - 4}$
答案：C
解析：
首先对分子进行因式分解，$4m - m^2 = m(4 - m)=-m(m-4)$；
然后对分母进行因式分解，$m^2 - 8m + 16=(m - 4)^2$。
所以$\frac{4m - m^2}{m^2 - 8m + 16}=\frac{-m(m - 4)}{(m - 4)^2}$，约分可得$\frac{-m}{m - 4}=\frac{m}{4 - m}$。
5. 分式$\frac{x - y}{2x + 2y}$与$\frac{xy}{(x + y)^2}$的最简公分母是(
).
A.$2x + 2y$
B.$(x + y)^2$
C.$2(x + y)^3$
D.$2(x + y)^2$
答案：D
解析：
首先对第一个分式的分母进行因式分解可得$2x + 2y = 2(x + y)$。
第二个分式的分母为$(x + y)^2$。
根据最简公分母的确定方法，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式最高次幂的积作公分母，$2$与$1$的最小公倍数是$2$，$(x + y)$的最高次幂是$2$，所以最简公分母是$2(x + y)^2$。
6. 通分：$\frac{5}{x^2 - 6x + 9}$与$\frac{2}{x^2 - 9}$.
答案：通分步骤：
1. 分解因式
$ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 $
$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $
2. 确定最简公分母
最简公分母为 $ (x - 3)^2(x + 3) $
3. 通分过程
$ \frac{5}{(x - 3)^2} = \frac{5(x + 3)}{(x - 3)^2(x + 3)} = \frac{5x + 15}{(x - 3)^2(x + 3)} $
$ \frac{2}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2(x - 3)}{(x - 3)^2(x + 3)} = \frac{2x - 6}{(x - 3)^2(x + 3)} $
最终结果：
$ \frac{5x + 15}{(x - 3)^2(x + 3)} $ 与 $ \frac{2x - 6}{(x - 3)^2(x + 3)} $
7. 把$\frac{a - 1}{a^2 + 2a + 1}$与$\frac{1}{1 - a^2}$通分后，$\frac{a - 1}{a^2 + 2a + 1}$的分母为$(1 - a)(a + 1)^2$，则$\frac{1}{1 - a^2}$的分子变为(
).
A.$1 - a$
B.$-1 - a$
C.$1 + a$
D.$-1 + a$
答案：C
解析：
先对两个分式的分母进行因式分解。$a^2 + 2a + 1=(a + 1)^2$，$1 - a^2=(1 - a)(1 + a)=-(a - 1)(a + 1)$。已知通分后$\frac{a - 1}{a^2 + 2a + 1}$的分母为$(1 - a)(a + 1)^2$，则$\frac{1}{1 - a^2}$的分母需化为$(1 - a)(a + 1)^2$，原分母为$(1 - a)(a + 1)$，需乘$(a + 1)$，分子也乘$(a + 1)$，即$1×(a + 1)=a + 1$。
8. 小丽在化简分式$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}=\frac{*}{x + 1}$时，$*$部分不小心滴上了墨水，请你推测$*$部分的式子应该是
.
答案：
$x - 1$
解析：
首先对分子$x^2 - 2x + 1$进行因式分解，得$(x - 1)^2$。
然后对分母$x^2 - 1$进行因式分解，得$(x + 1)(x - 1)$。
原分式为$\frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)}$，约分后得$\frac{x - 1}{x + 1}$，因此$*$部分的式子为$x - 1$。
9. (新定义)我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后得到的整式称为这个分式的“巧整式”.例如：$\frac{4x^2 - 8x}{x - 2}=\frac{4x(x - 2)}{x - 2}=4x$，则称分式$\frac{4x^2 - 8x}{x - 2}$为“巧分式”，$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义，解答下列问题.
(1)下列分式是“巧分式”的是
(填序号).
①$\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$；
②$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$；
③$\frac{2x + 5}{x + 3}$.
(2)若分式$\frac{x^2 - 4x + a}{x + 3}$($a$为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，求$a$的值.
(3)若分式$\frac{-2x^3 + 2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$.
①求整式$A$；
②$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{A}$是“巧分式”吗？
答案：(1)①②
(2)由题意得：$x^2 - 4x + a = (x + 3)(x - 7)$，展开右边：$(x + 3)(x - 7) = x^2 - 4x - 21$，对比系数得$a = -21$。
(3)①由题意得：$-2x^3 + 2x = A(1 - x)$，分子因式分解：$-2x^3 + 2x = -2x(x^2 - 1) = 2x(1 - x)(x + 1)$，则$A = \frac{2x(1 - x)(x + 1)}{1 - x} = 2x(x + 1) = 2x^2 + 2x$。
②$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{A} = \frac{2x(x + 1)^2}{2x(x + 1)} = x + 1$，是整式，故是“巧分式”。
