跟踪练习1 根据分式的基本性质，分式$\frac{-a}{a + b}$可变形为(
).
A.$\frac{a}{a + b}$
B.$\frac{a}{a - b}$
C.$-\frac{a}{a - b}$
D.$-\frac{a}{a + b}$
答案：D
解析：
根据分式的基本性质，分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个，分式的值不变，$\frac{-a}{a + b}$可变形为$-\frac{a}{a + b}$。
【例2】约分：
(1)$\frac{6x^3y^2}{9x^2y^3}$；
(2)$\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}$.
解
(1)$\frac{6x^3y^2}{9x^2y^3}=\frac{3x^2y^2· 2x}{3x^2y^2· 3y}=\frac{2x}{3y}$；
(2)$\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}=\frac{(x + 4)(x - 4)}{(x - 4)^2}=\frac{x + 4}{x - 4}$.
总结
（1）约分的关键是公因式的确定，约分后的分式必须为整式或最简分式.
（2）公因式：分子、分母分解因式后，所含系数的最大公约数与所含相同字母或因式的最低次幂的乘积.
（3）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变.
答案：(1) 解：
$\frac{6x^{3}y^{2}}{9x^{2}y^{3}} = \frac{3x^{2}y^{2} · 2x}{3x^{2}y^{2} · 3y} = \frac{2x}{3y}$
(2) 解：
$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 8x + 16} = \frac{(x + 4)(x - 4)}{(x - 4)^{2}} = \frac{x + 4}{x - 4}$
跟踪练习2 下列分式是最简分式的是(
).
A.$\frac{3}{12x}$
B.$\frac{x^2 - y^2}{x - y}$
C.$\frac{5x^3}{7x^5}$
D.$\frac{x - y}{x^2 + y^2}$
答案：D
解析：
最简分式是分子和分母没有公因式的分式，对各选项逐一分析：
选项A：$\frac{3}{12x}$，分子$3$和分母$12x$有公因数$3$，可化简为$\frac{1}{4x}$，不是最简分式。
选项B：$\frac{x^2 - y^2}{x - y}$，根据平方差公式$x^2 - y^2=(x + y)(x - y)$，则原式可化简为$\frac{(x + y)(x - y)}{x - y}=x + y$，不是最简分式。
选项C：$\frac{5x^3}{7x^5}$，分子分母有公因式$x^3$，可化简为$\frac{5}{7x^2}$，不是最简分式。
选项D：$\frac{x - y}{x^2 + y^2}$，分子$x - y$和分母$x^2 + y^2$没有公因式，是最简分式。
【例3】通分：
(1)$\frac{y}{(2y - 4)^2}$与$\frac{1}{6y - 3y^2}$；
(2)$-\frac{1}{8x^4y}$与$\frac{2}{3x^2y^3z}$.
解
（1）最简公分母是$12y(y - 2)^2$.
$\frac{y}{(2y - 4)^2}=\frac{y· 3y}{4(y - 2)^2· 3y}=\frac{3y^2}{12y(y - 2)^2}$，
$\frac{1}{6y - 3y^2}=\frac{4(y - 2)}{3y(y - 2)· 4(y - 2)}=-\frac{4(y - 2)}{12y(y - 2)^2}$.
（2）最简公分母是$24x^4y^3z$.
$-\frac{1}{8x^4y}=-\frac{3y^2z}{8x^4y· 3y^2z}=-\frac{3y^2z}{24x^4y^3z}$，
$\frac{2}{3x^2y^3z}=\frac{2· 8x^2}{3x^2y^3z· 8x^2}=\frac{16x^2}{24x^4y^3z}$.
总结 通分的步骤：（1）将所有能分解因式的分母分解因式；（2）求出最简公分母；（3）将分式的分子、分母同时乘一个因式，使分母变成最简公分母.
答案：（1）
将分母分解因式：$(2y - 4)^2 = 4(y - 2)^2$，$6y - 3y^2 = 3y(2 - y) = -3y(y - 2)$。
最简公分母为$12y(y - 2)^2$。
$\frac{y}{(2y - 4)^2} = \frac{y}{4(y - 2)^2} = \frac{y · 3y}{4(y - 2)^2 · 3y} = \frac{3y^2}{12y(y - 2)^2}$。
$\frac{1}{6y - 3y^2} = \frac{1}{-3y(y - 2)} = \frac{-4(y - 2)}{12y(y - 2)^2}$。
（2）
最简公分母为$24x^4y^3z$。
$-\frac{1}{8x^4y} = -\frac{1 · 3y^2z}{8x^4y · 3y^2z} = -\frac{3y^2z}{24x^4y^3z}$。
$\frac{2}{3x^2y^3z} = \frac{2 · 8x^2}{3x^2y^3z · 8x^2} = \frac{16x^2}{24x^4y^3z}$。
跟踪练习3 分式$\frac{x + 1}{x^2 - x}$，$\frac{2}{x^2 - 1}$，$-\frac{x}{x^2 + 2x + 1}$的最简公分母是(
).
A.$(x^2 - x)(x + 1)$
B.$x(x - 1)(x + 1)^2$
C.$(x^2 - 1)(x + 1)^2$
D.$x(x + 1)^2$
答案：B
解析：
分别对各分母因式分解：$x^2 - x = x(x - 1)$，$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$，$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$。最简公分母取各分母所有因式的最高次幂的积，即$x(x - 1)(x + 1)^2$。
