选项A：$(a + 4)^2 = a^2 + 8a + 16$，这是完全平方公式的展开，不是因式分解，所以A错误。
选项B：$a^2 - 8a + 4 = a(a - 8) + 4$，结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，所以B错误。
选项C：$a^2 - 2a - 8=(a - 4)(a + 2)≠(a - 2)(a + 4)$，所以C错误。
选项D：对$5ax^2 - 5ay^2$提取公因式$5a$后，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a - b)$，可得$5ax^2 - 5ay^2 = 5a(x^2 - y^2)=5a(x + y)(x - y)$，属于因式分解且正确，所以D正确。

确定公因式的方法：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取最低次幂。
系数6和9的最大公约数是3；
相同字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1；
所以公因式是$3a^2b$。

$b^2(x - 3) + b(3 - x) = b^2(x - 3) - b(x - 3) = (x - 3)(b^2 - b) = b(x - 3)(b - 1)$

因为$x - 3y = 4$，所以$ - 3x+9y=-3(x - 3y)=-3×4=-12$，则$8 - 3x + 9y=8+( - 3x + 9y)=8-12=-4$。

本题可先对$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$进行因式分解，再将$a + b = 3$，$ab = 1$代入求解。
步骤一：对$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$进行因式分解
提取公因式$ab$可得：$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3=ab(a^2 + 2ab + b^2)$。
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，对$a^2 + 2ab + b^2$进行变形可得$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$。
所以$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3=ab(a + b)^2$。
步骤二：代入求值
已知$a + b = 3$，$ab = 1$，将其代入$ab(a + b)^2$可得：
$1×3^2=1×9 = 9$。

根据题意，将$(x - 2)(x + b)$展开得$x^{2}+(b - 2)x - 2b$，又因为$x^{2}-ax - 1$可以分解为$(x - 2)(x + b)$，所以$x^{2}-ax - 1=x^{2}+(b - 2)x - 2b$。
则可得方程组$\begin{cases}-a=b - 2\\-1=-2b\end{cases}$，由$-1 = - 2b$，解得$b=\frac{1}{2}$，把$b=\frac{1}{2}$代入$-a=b - 2$，得$-a=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$，即$a=\frac{3}{2}$。
所以$a - b=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$。

多项式的各项为$4a^3, -6 a^2, 2a$，各项系数的最大公约数为2，各项都含有字母$a$，且$a$的最低次幂是1，所以公因式为$2a$。

首先提取公因式$2$，得到$2(x^2 - 4)$，然后利用平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对$x^2 - 4$继续分解，$x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)$。
所以$2x^2 - 8 = 2(x + 2)(x - 2)$。

原式 $(a + 1)^2 - 4a$
$=(a^2 + 2a + 1) - 4a$
$=a^2 - 2a + 1$
$=(a - 1)^2$

首先，将方程$(a - 3)^2 + b^2 = 12b - 36$进行整理，得到：
$(a - 3)^2 + (b - 6)^2 = 0$，
由于平方项非负，所以要使上式成立，必须有：
$a - 3 = 0$，
$b - 6 = 0$，
解得：
$a = 3$，
$b = 6$，
接下来，分两种情况讨论等腰三角形$ABC$的边长：
当$a$为腰长时，三角形的三边长为$3$，$3$，$6$。由于$3 + 3 = 6$，不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），所以这种情况应舍去。
当$b$为腰长时，三角形的三边长为$6$，$6$，$3$。这满足三角形的三边关系，因此周长为：
$6 + 6 + 3 = 15$。