8. (跨学科融合)小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：$a-b$，$x-y$，$x+y$，$a+b$，$x^{2}-y^{2}$，$a^{2}-b^{2}$ 分别对应下列六个字：国、爱、我、祖、游、美。现将 $(x^{2}-y^{2})a^{2}-(x^{2}-y^{2})b^{2}$ 分解因式，结果呈现的密码信息可能是(
)。
A.我爱美
B.祖国游
C.我爱祖国
D.美我祖国
答案：C
解析：
$(x^{2}-y^{2})a^{2}-(x^{2}-y^{2})b^{2}=(x^{2}-y^{2})(a^{2}-b^{2})=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b)$，对应“爱我祖国”，即“我爱祖国”。
9. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：$4=2^{2}-0^{2}$，$12=4^{2}-2^{2}$，$20=6^{2}-4^{2}$，因此 4，12，20 都是“神秘数”。
(1) 28 是“神秘数”吗？为什么？
(2) 设两个连续偶数为 $2k+2$ 和 $2k$（其中 $k$ 取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是 4 的倍数吗？为什么？
答案：(1)
设较小的偶数为$x$，则较大的偶数为$x + 2$，根据神秘数定义有$(x + 2)^{2}-x^{2}=28$，
展开式子得$x^{2}+4x + 4-x^{2}=28$，
化简得$4x+4 = 28$，
移项得$4x=28 - 4=24$，
解得$x = 6$，
$x+2=8$，
因为$28=8^{2}-6^{2}$，所以28是神秘数。
(2)
因为两个连续偶数为$2k + 2$和$2k$（$k$取非负整数），则$(2k + 2)^{2}-(2k)^{2}$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2k+2$，$b = 2k$，则$(2k + 2+2k)(2k + 2-2k)$
$=(4k + 2)×2$
$=4(2k + 1)$
因为$k$取非负整数，所以$2k + 1$是正整数，那么$(2k + 2)^{2}-(2k)^{2}$是4的倍数，即由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数。
