1. 把多项式4a²-1分解因式，正确的结果是（ ）．
A. (2a+1)² B. (2a-1)² C. (2a+1)(2a-1) D. (4a+1)(4a-1)
答案：C
解析：4a²-1=(2a)²-1²=(2a+1)(2a-1)，故选C
2. 课堂上，老师在黑板上布置了如图所示的题目作为课后作业，小虎同学不小心抄错了一道题，则他抄错的题目是（ ）．
用平方差公式分解因式：
（1）x²-y²；（2）-x²-y²；（3）-25n²+16m²；（4）(m+n)²-1．
A. 第（1）道题 B. 第（2）道题 C. 第（3）道题 D. 第（4）道题
答案：B
解析：平方差公式分解因式的多项式需满足两项符号相反且能写成平方形式。（1）x²-y²符合；（2）-x²-y²=-(x²+y²)，两项符号相同，不符合；（3）-25n²+16m²=16m²-25n²符合；（4）(m+n)²-1符合，所以抄错的是第（2）道题，故选B
3. 计算65²-35²=（ ）．
A. 3000 B. 100 C. 1100 D. 110
答案：A
解析：65²-35²=(65+35)(65-35)=100×30=3000，故选A
4. 如果一个数a=(2n+1)²-(2n-1)²，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列各数为“奇差数”的是（ ）．
A. 126 B. 94 C. 82 D. 56
答案：D
解析：a=(2n+1)²-(2n-1)²=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=(4n)(2)=8n，所以“奇差数”是8的倍数。56÷8=7，是8的倍数；126、94、82都不是8的倍数，故选D
5. 若a+b=2025，a-b=1，则(a+1)²-(b-1)²的值为___________．
答案：4052
解析：(a+1)²-(b-1)²=[(a+1)+(b-1)][(a+1)-(b-1)]=(a+b)(a-b+2)=2025×(1+2)=2025×3=6075
6. 请你仔细阅读以下等式，并寻找规律．
①x²-1=(x-1)(x+1)；
②x³-1=(x-1)(x²+x+1)；
③x⁴-1=(x-1)(x³+x²+x+1)；
④x⁵-1=(x-1)(x⁴+x³+x²+x+1)；
……
运用你发现的规律解答下列问题：
（1）x⁶-1=(x-1)·_______；
（2）_______=(x-1)(x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1)；
（3）以上各等式，从左到右的变形___________（选填“是”或“不是”）因式分解；
（4）将x⁴-1用平方差公式分解因式，其结果为___________，将该结果与③中右边的代数式进行比较，然后写出将x³+x²+x+1分解因式的结果为___________．
答案：（1）x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
解析：观察规律可得xⁿ-1=(x-1)(xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²+…+x+1)，所以x⁶-1=(x-1)(x⁵+x⁴+x³+x²+x+1)
（2）x⁸-1
解析：由规律可知(x-1)(x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1)=x⁸-1
（3）是
解析：因式分解是把多项式化为整式积的形式，以上等式左边是多项式，右边是整式积，所以是因式分解
（4）(x²+1)(x+1)(x-1)，(x²+1)(x+1)
解析：x⁴-1=(x²)²-1=(x²+1)(x²-1)=(x²+1)(x+1)(x-1)，③中x⁴-1=(x-1)(x³+x²+x+1)，所以x³+x²+x+1=(x²+1)(x+1)
7. 若定义一种运算：a△b=a³-b²+ab+1，如1△(-3)=1³-(-3)²+1×(-3)+1=1-9-3+1=-10．
（1）计算：(-x)△(1-x)；
（2）将（1）中计算所得的多项式分解因式．
答案：（1）-x³-x²+2x
解析：（1）(-x)△(1-x)=(-x)³-(1-x)²+(-x)(1-x)+1=-x³-(1-2x+x²)+(-x+x²)+1=-x³-1+2x-x²-x+x²+1=-x³-x²+2x
（2）-x(x²+x-2)
解析：（2）-x³-x²+2x=-x(x²+x-2)
