1. 平方差公式、完全平方公式是最常见的乘法公式。下列变形中，运用乘法公式计算$(x + 2y - 1)(x - 2y + 1)$正确的是(
)。
A.$[x-(2y + 1)]^{2}$
B.$[x+(2y + 1)]^{2}$
C.$[(x + 2y)+1][(x - 2y)-1]$
D.$[x+(2y - 1)][x-(2y - 1)]$
答案：D
解析：
将原式变形为$[x+(2y - 1)][x-(2y - 1)]$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$的形式，其中$a=x$，$b=2y - 1$。选项A、B是完全平方公式形式，与原式不符；选项C变形错误。
2. 在运用平方差公式计算$(x + y + a - b)· (x - y + a + b)$时，正确的是(
)。
A.$(x + a)^{2}-(y - b)^{2}$
B.$(x - y)^{2}-(a - b)^{2}$
C.$(x + b)^{2}-(y - a)^{2}$
D.$(x - b)^{2}-(y + a)^{2}$
答案：A
解析：
将原式变形为$[(x + a) + (y - b)][(x + a) - (y - b)]$，符合平方差公式$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2$，其中$m = x + a$，$n = y - b$，故结果为$(x + a)^2 - (y - b)^2$。
3. 下列各式中，与$(a - b + c)^{2}$的值不相等的是(
)。
A.$[(a - b)+c]^{2}$
B.$[a-(b - c)]^{2}$
C.$[a-(b + c)]^{2}$
D.$[(a + c)-b]^{2}$
答案：C
解析：
根据完全平方公式的结构特征，将原式及各选项变形：
原式$(a - b + c)^{2}$。
A选项$[(a - b)+c]^{2}=(a - b + c)^{2}$，与原式相等。
B选项$[a-(b - c)]^{2}=a^{2}-2a(b - c)+(b - c)^{2}=a^{2}-2ab + 2ac + b^{2}-2bc + c^{2}$，展开后与$(a - b + c)^{2}$相同。
C选项$[a-(b + c)]^{2}=a^{2}-2a(b + c)+(b + c)^{2}=a^{2}-2ab - 2ac + b^{2}+2bc + c^{2}$，与原式展开式不同。
D选项$[(a + c)-b]^{2}=(a + c - b)^{2}=(a - b + c)^{2}$，与原式相等。
4. 运用乘法公式计算：
（1）$(a + b - 1)^{2}$；
（2）$(x - 2y - 1)^{2}$；
（3）$(m^{2}-m + 1)(m^{2}+m + 1)$；
（4）$(3m + 2n - p)(3m - 2n + p)$。
答案：（1）
$(a + b - 1)^{2}$
$= [(a + b) - 1]^{2}$
$= (a + b)^{2} - 2(a + b) + 1$
$= a^{2} + 2ab + b^{2} - 2a - 2b + 1$
（2）
$(x - 2y - 1)^{2}$
$= [(x - 2y) - 1]^{2}$
$= (x - 2y)^{2} - 2(x - 2y) + 1$
$= x^{2} - 4xy + 4y^{2} - 2x + 4y + 1$
（3）
$(m^{2} - m + 1)(m^{2} + m + 1)$
$= [(m^{2} + 1) - m][(m^{2} + 1) + m]$
$= (m^{2} + 1)^{2} - m^{2}$
$= m^{4} + 2m^{2} + 1 - m^{2}$
$= m^{4} + m^{2} + 1$
（4）
$(3m + 2n - p)(3m - 2n + p)$
$= [3m + (2n - p)][3m - (2n - p)]$
$= (3m)^{2} - (2n - p)^{2}$
$= 9m^{2} - (4n^{2} - 4np + p^{2})$
$= 9m^{2} - 4n^{2} + 4np - p^{2}$
5. 若$a - b = 3$，$a - c = 2$，求$(2a - b - c)^{2}+(c - b)^{2}$的值。
答案：26
解析：
解：
∵ $a - b = 3$，$a - c = 2$，
∴ $(a - b) + (a - c) = 3 + 2$，即 $2a - b - c = 5$。
又∵ $(a - b) - (a - c) = 3 - 2$，即 $c - b = 1$。
∴ $(2a - b - c)^2 + (c - b)^2 = 5^2 + 1^2 = 25 + 1 = 26$。
6. 已知$x - y = 7$，$xy = -10$。
（1）分别求$x^{2}+y^{2}$与$(x + y)^{2}$的值；
（2）求代数式$(x + y + c)^{2}+(x - y - c)· (x - y + c)-2c(x + y)$的值。
答案：（1）
$x^{2}+y^{2} = (x - y)^{2} + 2xy$
$= 7^{2} + 2 × (-10)$
$ = 49 - 20$
$ = 29$
$(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} $
$=x^{2}+y^{2} + 2xy$
$ = 29 + 2 × (-10)$
$ = 29 - 20$
$ = 9$
（2）
$(x + y + c)^{2} + (x - y - c)(x - y + c) - 2c(x + y)$
$ = (x + y)^{2} + 2c(x + y) + c^{2} + (x - y)^{2} - c^{2} - 2c(x + y)$
$ = (x + y)^{2} + (x - y)^{2}$
$ = 9 + 49$
$ = 58$
7. （创新考法）若$a≠ 0$，$Q=(a^{2}-a + 1)(a^{2}+a + 1)$，$P=(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$，猜想$Q$与$P$的大小关系，并证明你的猜想。
答案：猜想：Q ＞ P。
证明：
∵ $ P=(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}=[(a + 1)(a - 1)]^{2}=(a^{2}-1)^{2}=a^{4}-2a^{2}+1 $，
$ Q=(a^{2}-a + 1)(a^{2}+a + 1)=[(a^{2}+1)-a][(a^{2}+1)+a]=(a^{2}+1)^{2}-a^{2}=a^{4}+2a^{2}+1 - a^{2}=a^{4}+a^{2}+1 $，
∴ $ Q - P=(a^{4}+a^{2}+1)-(a^{4}-2a^{2}+1)=3a^{2} $。
∵ $ a≠0 $，∴ $ a^{2}＞0 $，则 $ 3a^{2}＞0 $，即 $ Q - P＞0 $。
∴ $ Q＞P $。
结论：Q ＞ P。
