5. 两个正方形$ABCD$，$AEFG$如图摆放，边长分别为$a$，$b$。若$a^{2}+b^{2}=34$，$BE = 2$，求图中阴影部分的面积。
答案：8
解析：
∵四边形ABCD和AEFG是正方形，边长分别为a，b，
∴AB=BC=CD=AD=a，AE=EF=FG=AG=b，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=90°。
由题意，BE=2，且E在AB上，∴AB - AE = BE，即a - b = 2。
阴影部分面积为△DFC与△BEF的面积之和。
在△BEF中，BE = a - b = 2，EF = b，∠BEF=90°，
∴S△BEF = $\frac{1}{2}×BE×EF$ = $\frac{1}{2}×2×b$ = b。
在△DFC中，DC = a，DC边上的高为a - b = 2，
∴S△DFC = $\frac{1}{2}×DC×高$ = $\frac{1}{2}×a×2$ = a。
∴阴影部分面积S = S△BEF + S△DFC = a + b。
已知a² + b² = 34，a - b = 2，
∵(a - b)² = a² - 2ab + b²，∴2² = 34 - 2ab，解得ab = 15。
∵(a + b)² = a² + 2ab + b² = 34 + 2×15 = 64，∴a + b = 8（a，b＞0）。
故阴影部分面积为8。
6. 在一次数学活动中，小红将一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形沿如图（1）所示的虚线用剪刀均分成四个全等的小长方形，然后按图（2）的方式拼成一个正方形。小红通过观察图（1）（2），用两种不同的方法表示出了图（2）中阴影部分的面积，并得出$(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$这三个代数式之间的一个等量关系。
（1）请写出代数式$(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$的一个等量关系，并说明理由；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若$x + y = 6$，$xy = 4$，求$(x - y)^{2}$的值。
答案：（1）
关系：$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab$。
理由：
图（2）中正方形的边长为$a + b$，其面积$S=(a + b)^{2}$。
阴影部分是小正方形，边长为$a - b$，面积$S_{阴}=(a - b)^{2}$。
四个小长方形面积和为$4ab$，且大正方形面积等于四个小长方形面积与阴影部分面积之和，即$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab$，移项可得$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab$。
（2）
由（1）知$(x - y)^{2}=(x + y)^{2}-4xy$，
把$x + y = 6$，$xy = 4$代入上式得：
$(x - y)^{2}=6^{2}-4×4=36 - 16=20$。
7. 【教材再现】人教版义务教育教科书数学八年级上册习题16.3（拓广探索）第7题：
已知$a + b = 5$，$ab = 3$，求$a^{2}+b^{2}$的值。
【习题讲解】老师讲解了解答这道题的两种方法：
|方法一|方法二|
|----|----|
|因为$a + b = 5$，
所以$(a + b)^{2}=25$。
所以$a^{2}+2ab + b^{2}=25$。
又因为$ab = 3$，
所以$a^{2}+b^{2}=25 - 2ab = 25 - 6 = 19$。|因为$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，
所以$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$。
又因为$a + b = 5$，$ab = 3$，
所以$a^{2}+b^{2}=25 - 6 = 19$。|
【方法运用】请你参照上面两种方法，解答以下问题：
（1）已知$a - b = 2$，$a^{2}+b^{2}=12$，求$ab$的值；
（2）已知$a+\dfrac{1}{a}=4$，求$(a-\dfrac{1}{a})^{2}$的值。
答案：（1）
方法一：
因为$a - b = 2$，所以$(a - b)^{2}=4$，即$a^{2}-2ab + b^{2}=4$。
又因为$a^{2}+b^{2}=12$，所以$12 - 2ab = 4$，解得$ab = 4$。
方法二：
因为$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，所以$a^{2}+b^{2}=(a - b)^{2}+2ab$，则$ab=\frac{(a^{2}+b^{2})-(a - b)^{2}}{2}$。
把$a - b = 2$，$a^{2}+b^{2}=12$代入可得$ab=\frac{12 - 4}{2}=4$。
（2）
因为$(a+\frac{1}{a})^{2}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}} = 16$，所以$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=16 - 2 = 14$。
又因为$(a-\frac{1}{a})^{2}=a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}$，把$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=14$代入可得$(a-\frac{1}{a})^{2}=14 - 2 = 12$。
