跟踪练习1 运用完全平方公式计算：
（1）$53^{2}$； （2）$97^{2}$；
（3）$700.1^{2}$； （4）$499.9^{2}$。
答案：（1）
$53^{2}$
$=(50 + 3)^{2}$
$=50^{2} + 2 × 50 × 3 + 3^{2}$
$=2500 + 300 + 9$
$=2809$
（2）
$97^{2}$
$=(100 - 3)^{2}$
$=100^{2} - 2 × 100 × 3 + 3^{2}$
$=10000 - 600 + 9$
$=9409$
（3）
$700.1^{2}$
$=(700 + 0.1)^{2}$
$=700^{2} + 2 × 700 × 0.1 + 0.1^{2}$
$=490000 + 140 + 0.01$
$=490140.01$
（4）
$499.9^{2}$
$=(500 - 0.1)^{2}$
$=500^{2} - 2 × 500 × 0.1 + 0.1^{2}$
$=250000 - 100 + 0.01$
$=249900.01$
【例2】已知$a^{2}+b^{2}=26$，$ab = 3$，求$(a + b)^{2}$和$(a - b)^{2}$的值。
解 $(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab = 26 + 2× 3 = 32$，$(a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab = 26 - 2× 3 = 20$。
总结 利用完全平方公式求代数式的值时，一定要熟悉完全平方公式的变形。
完全平方公式的常见变形有
$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab=(a - b)^{2}+2ab$；
$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab$。
答案：答题卡答：
$(a + b)^{2}=a^{2} + 2ab + b^{2}$
$=a^{2}+b^{2}+2ab$
因为$a^{2}+b^{2}=26$，$ab = 3$，
则$2ab=2×3 = 6$，
所以$a^{2}+b^{2}+2ab=26 + 6=32$。
$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$
$=a^{2}+b^{2}-2ab$
因为$a^{2}+b^{2}=26$，$2ab = 6$，
所以$a^{2}+b^{2}-2ab=26-6 = 20$。
综上$(a + b)^{2}$的值为$32$，$(a - b)^{2}$的值为$20$。
跟踪练习2 已知$(a + b)^{2}=12$，$ab = 2$，则$(a - b)^{2}$的值为(
)。
A.$4$
B.$8$
C.$16$
D.$20$
答案：A
解析：
根据完全平方公式，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
已知$(a+b)^2=12$，$ab=2$，则：
$(a-b)^2$
$=a^2 - 2ab + b^2$
$=a^2 + 2ab + b^2 - 4ab$
$=(a+b)^2 - 4ab$
将已知数值代入：
$(a-b)^2$
$=12 - 4 × 2$
$=12 - 8$
$=4$
1. 小华在利用完全平方公式计算一个二项式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，他得到的正确结果为$a^{2}$■$ab + 9b^{2}$，则中间一项的系数是(
)。
A.$-6$
B.$6$
C.$6$或$-6$
D.$18$
答案：C
解析：
因为完全平方公式为$(m \pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2$，已知结果为$a^{2}$■$ab + 9b^{2}$，其中$a^2=(a)^2$，$9b^2=(3b)^2$，所以中间项应为$\pm 2 × a × 3b = \pm 6ab$，故中间一项的系数是$6$或$-6$。
2. 下列等式不成立的是(
)。
A.$(a + b)^{2}=(-a - b)^{2}$
B.$(a - b)^{2}=a^{2}-b^{2}$
C.$(a - b)^{2}=(b - a)^{2}$
D.$(-a + b)^{2}=(-b + a)^{2}$
答案：B
解析：
选项A，对于$(a + b)^{2}$和$(-a - b)^{2}$，因为$(-a - b)^{2}=[-(a+b)]^{2}=(a+b)^2$，所以该等式成立。
选项B，根据完全平方公式，$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$，而$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，所以$(a - b)^{2}≠ a^{2}-b^{2}$，该等式不成立。
选项C，对于$(a - b)^{2}$和$(b - a)^{2}$，因为$(b - a)^{2}=[-(a - b)]^{2}=(a - b)^{2}$，所以该等式成立。
选项D，对于$(-a + b)^{2}$和$(-b + a)^{2}$，因为$(-a + b)^{2}=(b - a)^{2}$，$(-b + a)^{2}=(a - b)^{2}=(b - a)^{2}$，所以该等式成立。
3. 若$a^{2}+b^{2}=16$，$ab = 6$，则$a - b$的值为(
)。
A.$-2$
B.$2$
C.$\pm 2$
D.$\pm 3$
答案：C
解析：
根据完全平方公式，$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$，
已知$a^{2} + b^{2} = 16$，$ab = 6$，将其代入公式可得：
$(a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab = 16 - 2×6 = 16 - 12 = 4$。
因为一个数的平方等于$4$，那么这个数为$\pm\sqrt{4}=\pm2$，所以$a - b = \pm 2$。
4. 在下列正方形分割方案中，可以验证$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab$的图形是(
)。
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：
要验证$(a + b)^2=(a - b)^2 + 4ab$，需大正方形（边长$a + b$）面积等于小正方形（边长$a - b$）面积与4个面积为$ab$的图形面积之和。选项A中，大正方形边长为$a + b$，可分割为中心边长$a - b$的小正方形和四周4个面积为$ab$的长方形，总面积为$(a - b)^2 + 4ab$，等于大正方形面积$(a + b)^2$，符合公式。
