7. 用一元二次方程描述下列问题中的数量关系,并化为一般形式.
(1)两个连续整数的平方和是313,设较小的数为x.
(2)某品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元,设平均每月降低的百分率为x.
(3)小明拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺.妈妈让他沿着门的两个对角斜着拿杆,小明一试,不多不少刚好进去了.设竹竿长为x尺.
(4)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.设这批椽有x株.
答案：(1)解：设这两个连续整数分别为x和x+1
$ x^2+(x+1)^2=313$
化为一般形式为$2x^2+2x-312=0$
(2)解：设这个正方形纸片的边长为$x\ \mathrm {cm}$
(x+5)(x+2)=54
化为一般形式为$x^2+7x-44=0$
(3)解：设竹竿长x尺
$ (x-4)^2+(x-2)^2=x^2$
化为一般形式为$x^2-12x+20=0$
(4)3x(x－1)=6210
化为一般形式为3x²－3x－6210=0
解析：
（1）设较小的数为$x$，则较大的数为$x + 1$，根据题意可得$x^{2}+(x + 1)^{2}=313$，展开得$x^{2}+x^{2}+2x + 1=313$，合并同类项得$2x^{2}+2x - 312=0$，两边同时除以$2$得$x^{2}+x - 156=0$；
（2）设平均每月降低的百分率为$x$，四月份售价为$3200(1 - x)$，五月份售价为$3200(1 - x)^{2}$，根据题意可得$3200(1 - x)^{2}=2500$，展开得$3200(1 - 2x + x^{2})=2500$，即$3200 - 6400x + 3200x^{2}=2500$，移项得$3200x^{2}-6400x + 700=0$，两边同时除以$100$得$32x^{2}-64x + 7=0$；
（3）设竹竿长为$x$尺，则门框宽为$(x - 4)$尺，门框高为$(x - 2)$尺，根据勾股定理可得$(x - 4)^{2}+(x - 2)^{2}=x^{2}$，展开得$x^{2}-8x + 16 + x^{2}-4x + 4=x^{2}$，合并同类项得$2x^{2}-12x + 20 - x^{2}=0$，即$x^{2}-12x + 20=0$；
（4）设这批椽有$x$株，每株椽的价钱为$3(x - 1)$文，根据题意可得$x×3(x - 1)=6210$，展开得$3x(x - 1)=6210$，即$3x^{2}-3x - 6210=0$，两边同时除以$3$得$x^{2}-x - 2070=0$。
8. 已知a是方程$x^{2}-2025x+1= 0$的一个根,试求$a^{2}-2024a+\frac{2025}{a^{2}+1}$的值.
答案：解：由题意可得：a²-2025a+1=0
所以a²+1=2025a，a²=2025a-1
所以原式$=2025a-1-2024a+\frac {2025}{2025a}$
$ =a-1+\frac {1}{a}$
$ =\frac {a²-a+1}{a}$
$ =\frac {2025a-a}{a}$
=2024
解析：
因为$a$是方程$x^{2}-2025x + 1=0$的一个根，所以$a^{2}-2025a + 1=0$，则$a^{2}=2025a - 1$，$a^{2}+1=2025a$。
$a^{2}-2024a+\frac{2025}{a^{2}+1}=(2025a - 1)-2024a+\frac{2025}{2025a}$
$=2025a - 1 - 2024a+\frac{1}{a}$
$=a - 1+\frac{1}{a}$
由$a^{2}-2025a + 1=0$，两边同时除以$a$（$a\neq0$）得$a - 2025+\frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=2025$。
所以$a - 1+\frac{1}{a}=(a+\frac{1}{a})-1=2025 - 1=2024$。
2024
