例1 (1)能用直接开平方法求解的一元二次方程是 (
D
)
A.$x^{2}-3x= 0$
B.$x^{2}+2x= 3$
C.$x^{2}+x-1= 0$
D.$(x+2)^{2}= 4$
(2)若关于x的方程$(x-1)^{2}= k$没有实数根,则k的取值范围是 (
D
)
A.$k\leqslant0$
B.$k\geqslant0$
C.$k＞0$
D.$k＜0$
答案：
(1) D;
(2) D.
例2 用直接开平方法解下列方程：
(1)$x^{2}-\frac{1}{2}= 0$；
(2)$4y^{2}= 0$；
(3)$2x^{2}-98= 0$；
(4)$(x+3)^{2}= 2$；
(5)$(x+2)^{2}= (2x+3)^{2}$；
(6)$100(1-x)^{2}= 64$.
答案：1. （1）
解：
对于方程$x^{2}-\frac{1}{2}=0$，移项可得$x^{2}=\frac{1}{2}$。
直接开平方，$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
所以$x_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. （2）
解：
对于方程$4y^{2}=0$，两边同时除以$4$，得$y^{2}=0$。
直接开平方，$y = 0$。
所以$y_{1}=y_{2}=0$。
3. （3）
解：
对于方程$2x^{2}-98 = 0$，移项得$2x^{2}=98$，两边同时除以$2$，$x^{2}=49$。
直接开平方，$x=\pm\sqrt{49}=\pm7$。
所以$x_{1}=7$，$x_{2}=-7$。
4. （4）
解：
对于方程$(x + 3)^{2}=2$，直接开平方，$x + 3=\pm\sqrt{2}$。
移项得$x=-3\pm\sqrt{2}$。
所以$x_{1}=-3+\sqrt{2}$，$x_{2}=-3-\sqrt{2}$。
5. （5）
解：
对于方程$(x + 2)^{2}=(2x + 3)^{2}$，直接开平方，$x + 2=\pm(2x + 3)$。
当$x + 2=2x + 3$时，移项得$x-2x=3 - 2$，即$-x = 1$，解得$x=-1$。
当$x + 2=-(2x + 3)$时，去括号得$x + 2=-2x-3$，移项得$x + 2x=-3 - 2$，$3x=-5$，解得$x=-\frac{5}{3}$。
所以$x_{1}=-1$，$x_{2}=-\frac{5}{3}$。
6. （6）
解：
对于方程$100(1 - x)^{2}=64$，两边同时除以$100$，得$(1 - x)^{2}=\frac{64}{100}$。
直接开平方，$1 - x=\pm\frac{8}{10}=\pm\frac{4}{5}$。
当$1 - x=\frac{4}{5}$时，移项得$x=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$。
当$1 - x=-\frac{4}{5}$时，移项得$x=1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}$。
所以$x_{1}=\frac{1}{5}$，$x_{2}=\frac{9}{5}$。
1. 写出下列方程的解：
(1)$x^{2}= 169$
$x_1=13，x_2=-13$
；
(2)$(x+3)^{2}= 0$
$x_1=x_2=-3$
；
(3)$(x-1)^{2}= 3$
$x_1=1+\sqrt {3}，x_2=1-\sqrt {3}$
；
(4)$4x^{2}= a^{2}$
$x_1=\frac a 2，x_2=-\frac a 2$
.
答案：$x_1=13，$$x_2=-13$
$x_1=x_2=-3$
$x_1=1+\sqrt {3}，$$x_2=1-\sqrt {3}$
$x_1=\frac a 2，$$x_2=-\frac a 2$
$±\sqrt{2}$
