3. 有一张矩形纸片ABCD,AB= 10 cm,BC= 15 cm.按如图所示方式将它剪去两部分,分别是正方形纸片AEQP和正方形纸片PGHF,且BE= DF.若余下部分的面积是原矩形纸片面积的一半,则DF= ______
$10-5\sqrt{2}$
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答案：$10-5\sqrt{2}$.
解析：
设$DF = x\ cm$，则$BE = DF = x\ cm$。
因为四边形$AEQP$是正方形，$AB = 10\ cm$，所以$AE = AB - BE = 10 - x\ cm$，即正方形$AEQP$的边长为$10 - x\ cm$，其面积为$(10 - x)^2\ cm^2$。
矩形$ABCD$中，$AD = BC = 15\ cm$，$AP = AE = 10 - x\ cm$，所以$PF = AD - AP - DF = 15 - (10 - x) - x = 5\ cm$。
因为四边形$PGHF$是正方形，所以其边长为$PF = 5\ cm$，面积为$5^2 = 25\ cm^2$。
原矩形面积为$AB × BC = 10 × 15 = 150\ cm^2$，余下部分面积是原矩形面积的一半，所以剪去的两个正方形面积之和为$150 - \frac{150}{2} = 75\ cm^2$。
可得方程：$(10 - x)^2 + 25 = 75$，即$(10 - x)^2 = 50$，解得$10 - x = \pm 5\sqrt{2}$。
因为边长不能为负，所以$10 - x = 5\sqrt{2}$（$10 - x = -5\sqrt{2}$舍去），则$x = 10 - 5\sqrt{2}$。
$10 - 5\sqrt{2}$
4. 如图,在△ABC中,$\angle B= 90^{\circ}$,AB= 6 cm,BC= 8 cm,点P以1 cm/s的速度从点A沿边AB向点B移动,点Q以2 cm/s的速度从点B沿边BC向点C移动(点Q到达点C运动停止).设点P、Q分别从点A、B同时出发t s($t＞0$).
(1)t为何值时,PQ= 6 cm?
(2)连接PC,t为何值时,△PCQ的面积等于$3\ cm^2$?
答案：解：( 1 ) 依题意得瓷$( 6-t ) ^2+( 2t ) ^2=6^2$
解得，$t_1=0，$$t_2=2.4$
∵t>0，∴t=2.4
答：当t 为2.4时，$PQ=6\ \mathrm {cm}.$
(2)依题意得，$\frac {1}{2}( 6-t ) ( 8-2t ) =3$
解得，$t_1=3，$$t_2=7$
∵点Q到达点C运动停止
∴0＜t≤4
∴t=3
答：当t为3时，△PCQ的面积等于$3\ \mathrm {cm^2}.$
5. 某海军基地位于A处,在其正南方向200 n mile处有一重要目标B,在目标B的正东方向200 n mile处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头;一艘军舰从A处出发,经目标B向目标C匀速巡航.一艘补给船同时从岛D出发,保持匀速直线航行(不改变方向),欲将一批物品送往军舰.已知军舰的速度是补给船的3倍,军舰在由目标B到目标C的途中与补给船相遇,求相遇处距离目标C多远.(1 n mile= 1 852 m)
答案：解：设相遇处距离目标C x海里.
依题意得，$( 200+200-x ) ^2=9[100^2+( 100-x ) ^2]$
解得，$x_1=25，$$x_2=100$
答：相遇处距离目标C 25海里或100海里.
解析：
以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系。则A(0,0)，B(0,-200)，C(200,-200)，D为AC中点，坐标为(100,-100)。
设补给船速度为v，军舰速度为3v，相遇时间为t。
军舰从A到B需时间$\frac{200}{3v}$。
情况1：军舰在B到C途中相遇（$t ＞ \frac{200}{3v}$），此时军舰坐标为$(3v(t - \frac{200}{3v}), -200) = (3vt - 200, -200)$。
补给船坐标为$(100 + v t \cos\theta, -100 + v t \sin\theta)$，因相遇时坐标相同，可得：
$\begin{cases}3vt - 200 = 100 + v t \cos\theta \\-200 = -100 + v t \sin\theta\end{cases}$
由第二个方程得$v t \sin\theta = -100$，第一个方程得$v t \cos\theta = 3vt - 300$。
又$(v t \cos\theta)^2 + (v t \sin\theta)^2 = (vt)^2$，代入得：
$(3vt - 300)^2 + (-100)^2 = (vt)^2$
令$s = vt$，则$(3s - 300)^2 + 10000 = s^2$，解得$s = 100$或$s = 125$。
当$s = 100$时，$t = \frac{100}{v} ＜ \frac{200}{3v}$（舍去，此时军舰未到B）；当$s = 125$时，$t = \frac{125}{v} ＞ \frac{200}{3v}$，军舰横坐标为$3s - 200 = 175$，距离C为$200 - 175 = 25$ n mile。
情况2：军舰在A到B途中相遇（$t \leq \frac{200}{3v}$），军舰坐标为$(0, -3vt)$，补给船坐标为$(100 + v t \cos\theta, -100 + v t \sin\theta)$，相遇时：
$\begin{cases}0 = 100 + v t \cos\theta \\-3vt = -100 + v t \sin\theta\end{cases}$
解得$s = vt = 100$，$t = \frac{100}{v} ＜ \frac{200}{3v}$，军舰横坐标为0，距离C为200 n mile（但题目明确“军舰在由目标B到目标C的途中与补给船相遇”，此情况舍去）。
综上，相遇处距离目标C 25 n mile。
25 n mile
