例1 不解方程,判别下列方程根的情况：
(1)$2x^{2}+3x-4= 0$； (2)$16y^{2}+9= 24y$； (3)$5(x^{2}+1)-7x= 0$.
答案：解：根据题意，得$(3m-1)^2-4m(2m-1)=1$
解得，m=0或m=2
∵原方程为一元二次方程，∴m≠0
∴m=2
将m=2代入原方程，得$2x^2-5x+3=0$
解得$x_1=\frac 32，$$x_2=1$
解：$(1)b^2-4ac=9-4×2×(-4)>0，$原方程有两个不相等的实数根
$ (2)16y^2-24y+9=0$
$ b^2-4ac=24^2-4×16×9=0，$原方程有两个相等的实数根
$ (3)5x^2-7x+5=0$
$ b^2-4ac=7^2-4×5×5<0，$原方程没有实数根.
例2 已知关于$x的一元二次方程mx^{2}-(3m-1)x+2m-1= 0$,其根的判别式的值为1,求$m$的值及该方程的根.
答案：m=2,x₁=1,x₂=3/2.
解析：
解：
∵方程$mx^{2}-(3m-1)x+2m-1=0$是一元二次方程，
∴$m\neq0$。
根的判别式$\Delta =[-(3m - 1)]^{2}-4m(2m - 1)=1$，
即$9m^{2}-6m + 1 - 8m^{2}+4m=1$，
化简得$m^{2}-2m=0$，
解得$m_{1}=0$（舍去），$m_{2}=2$。
当$m = 2$时，方程为$2x^{2}-5x + 3=0$，
$(2x - 3)(x - 1)=0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{3}{2}$。
综上，$m=2$，方程的根为$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{3}{2}$。
1. 方程$x^{2}-5x-1= 0$的根的情况是 (
A
)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案：A
解析：
对于方程$x^{2}-5x - 1=0$，其中$a = 1$，$b=-5$，$c=-1$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-1)=25 + 4=29$。
因为$\Delta=29＞0$，所以方程有两个不相等的实数根。
A.
2. 下列方程中,没有实数根的方程是 (
D
)
A.$x^{2}= 9$
B.$4x^{2}= 3(4x-1)$
C.$x(x+1)= 1$
D.$2y^{2}+6y+7= 0$
答案：D
解析：
A. $x^{2}=9$，解得$x=\pm 3$，有实数根。
B. $4x^{2}=3(4x - 1)$，整理得$4x^{2}-12x + 3=0$，$\Delta=(-12)^{2}-4×4×3=144 - 48=96＞0$，有两个不相等的实数根。
C. $x(x + 1)=1$，整理得$x^{2}+x - 1=0$，$\Delta=1^{2}-4×1×(-1)=1 + 4=5＞0$，有两个不相等的实数根。
D. $2y^{2}+6y + 7=0$，$\Delta=6^{2}-4×2×7=36 - 56=-20＜0$，没有实数根。
D
