7. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}= 0$;
(2) $2x^{2}-2x-1= 0$;
(3) $8x= 3x^{2}-1$;
(4) $(x+2)^{2}-2x= 3x^{2}$;
(5) $y(y-8)= 16$;
(6) $x^{2}+3= 2\sqrt{3}x$.
答案： 解：a=1，$b=-\frac 12，$$c=-\frac 12$
$ b^2-4ac=\frac 94$
$ x=\frac {\frac 12±\sqrt {\frac 94}}2=\frac {\frac 12±\frac 32}2$
$ x_1=1，$$x_2=-\frac 12$
解：a=2，b=-2，c=-1
$ b^2-4ac=12$
$ x=\frac {2±\sqrt {12}}{4}=\frac {1±\sqrt {3}}2$
$ x_1=\frac {1+\sqrt {3}}2，$$x_2=\frac {1-\sqrt {3}}2$
解：$3x^2-8x-1=0$
a=3，b=-8，c=-1
$ b^2-4ac=76$
$ x=\frac {8±\sqrt {76}}6=\frac {4±\sqrt {19}}3$
$ x_1=\frac {4+\sqrt {19}}3，$$x_2=\frac {4-\sqrt {19}}3$
解：$x^2+4x+4-2x=3x^2$
$ x^2-x-2=0$
a=1，b=-1，c=-2
$ b^2-4ac=9$
$ x=\frac {1±\sqrt {9}}2=\frac {1±3}2$
$ x_1=2，$$x_2=-1$
解：$y^2-8y-16=0$
a=1，b=-8，c=-16
$ b^2-4ac=128$
$ y=\frac {8±\sqrt {128}}2=4±4\sqrt {2}$
$ y_1=4+4\sqrt {2}，$$y_2=4-4\sqrt {2}$
解：$x^2-2\sqrt {3}x+3=0$
a=1，$b=-2\sqrt {3}，$c=3
$ b^2-4ac=0$
$ x=\frac {2\sqrt {3}}2=\sqrt {3}$
$ x_1=x_2=\sqrt {3}$
解析：
（1）解：$a=1$，$b=-\frac{1}{2}$，$c=-\frac{1}{2}$，$\Delta=b^2-4ac=(-\frac{1}{2})^2-4×1×(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$，$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}}{2}$，$x_1=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}{2}=1$，$x_2=\frac{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}{2}=-\frac{1}{2}$；
（2）解：$a=2$，$b=-2$，$c=-1$，$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×2×(-1)=4+8=12$，$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$，$x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$；
（3）解：整理得$3x^2-8x-1=0$，$a=3$，$b=-8$，$c=-1$，$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4×3×(-1)=64+12=76$，$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8\pm2\sqrt{19}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{19}}{3}$，$x_1=\frac{4+\sqrt{19}}{3}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$；
（4）解：整理得$2x^2-2x-4=0$，即$x^2-x-2=0$，$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-2)=1+8=9$，$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm3}{2}$，$x_1=\frac{1+3}{2}=2$，$x_2=\frac{1-3}{2}=-1$；
（5）解：整理得$y^2-8y-16=0$，$a=1$，$b=-8$，$c=-16$，$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4×1×(-16)=64+64=128$，$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8\pm8\sqrt{2}}{2}=4\pm4\sqrt{2}$，$y_1=4+4\sqrt{2}$，$y_2=4-4\sqrt{2}$；
（6）解：整理得$x^2-2\sqrt{3}x+3=0$，$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3$，$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4×1×3=12-12=0$，$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$x_1=x_2=\sqrt{3}$。
8. 一个直角三角形的斜边长为10 cm,一条直角边比另一条直角边长2 cm.求两条直角边的长.
答案：解∶设短的直角边长为$x\ \mathrm {cm}，$则长的直角边长为$(x+ 2)\ \mathrm {cm}.$
根据题意，得$x^2+(x+2)^2=10^2$
解得，$x_1=6，$$x_2=-8($不合题意，舍去)
长的直角边：$6+2=8(\ \mathrm {cm})$
∴两条直角边的长分别为$6\ \mathrm {cm}$和$8\ \mathrm {cm}.$
解析：
设较短的直角边长为$x\ cm$，则另一条直角边长为$(x + 2)\ cm$。
根据勾股定理，得$x^2 + (x + 2)^2 = 10^2$。
展开并整理，得$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100$，即$2x^2 + 4x - 96 = 0$，化简为$x^2 + 2x - 48 = 0$。
因式分解，得$(x - 6)(x + 8) = 0$。
解得$x_1 = 6$，$x_2 = -8$（边长不能为负，舍去）。
则另一条直角边长为$6 + 2 = 8\ cm$。
两条直角边的长分别为$6\ cm$、$8\ cm$。
9. 已知$(m-1)x^{2}-2mx+m+1= 0$是关于x的一元二次方程.
(1) 求此方程的根；
(2) 求当m为何整数时,此方程的两个根都是正整数.
答案： 解：$(1)b^2-4ac=4\ \mathrm {m^2}-4(m-1)(m+1)=4\gt 0$
$ x=\frac {2m±\sqrt {4}}{2(m-1)}=\frac {m±1}{m-1}$
∴$x_1=\frac {m+1}{m-1}，$$x_2=1$
(2)若使两个根都是正整数，则$\frac {m+1}{m-1}$为正整数
$ \frac {m+1}{m-1}=1+\frac {2}{m-1}$
∴m-1的值为1或2，得m=2或m=3
∴当m=2或m=3时，方程的两个根都是正整数.
解析：
（1）$(m-1)x^{2}-2mx+m+1=0$
$[(m-1)x-(m+1)](x-1)=0$
$(m-1)x-(m+1)=0$或$x-1=0$
$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{m+1}{m-1}$
（2）$x_{2}=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}$
因为方程的两个根都是正整数，$x_{1}=1$为正整数，所以$x_{2}$为正整数。
则$\frac{2}{m-1}$为正整数，$m-1$是2的正因数。
$m-1=1$时，$m=2$；$m-1=2$时，$m=3$。
所以$m=2$或$3$
