解：2x(x-3)=5(x-3)
2x(x-3)-5(x-3)=0
(x-3)(2x-5)=0
x-3=0或2x-5=0
x₁=3，x₂=$\frac{5}{2}$
C

解：$3x^2 - 6x + 1 = 0$
$3(x^2 - 2x) = -1$
$3(x^2 - 2x + 1 - 1) = -1$
$3[(x - 1)^2 - 1] = -1$
$3(x - 1)^2 - 3 = -1$
$3(x - 1)^2 = 2$
$(x - 1)^2 = \frac{2}{3}$
D

∵方程是一元二次方程，
∴$k\neq0$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(-2)^2 - 4× k×(-1)=4 + 4k＞0$，
解得$k＞-1$。
综上，$k$的取值范围是$k＞-1$且$k\neq0$。
B

设游泳池的长为$x\ m$，因为宽比长短$10\ m$，所以宽为$(x - 10)\ m$。矩形面积等于长乘宽，已知面积为$375\ m^2$，则可列方程$x(x - 10)=375$。
A

①解方程$x^2 - x - 2 = 0$，$(x - 2)(x + 1)=0$，根为$x_1=2$，$x_2=-1$，$2$不是$-1$的$2$倍，$-1$不是$2$的$2$倍，不是倍根方程，①错误；
②方程$(x - 2)(mx + n)=0$的根为$x_1=2$，$x_2=-\frac{n}{m}$。若$2 = 2×(-\frac{n}{m})$，则$-\frac{n}{m}=1$，$n=-m$，$4m^2 + 5mn + n^2=4m^2 - 5m^2 + m^2=0$；若$-\frac{n}{m}=2×2=4$，则$n=-4m$，$4m^2 + 5mn + n^2=4m^2 - 20m^2 + 16m^2=0$，②正确；
③方程$px^2 + 3x + q = 0$，两根$x_1$，$x_2$，$x_1x_2=\frac{q}{p}=2$（$pq=2$），$x_1 + x_2=-\frac{3}{p}$。设$x_2=2x_1$，则$x_1\cdot2x_1=2$，$x_1^2=1$，$x_1=\pm1$。若$x_1=1$，则$x_2=2$，$1 + 2=3=-\frac{3}{p}$，$p=-1$，$q=-2$，方程$-x^2 + 3x - 2 = 0$，根为$1$和$2$；若$x_1=-1$，则$x_2=-2$，$-1 + (-2)=-3=-\frac{3}{p}$，$p=1$，$q=2$，方程$x^2 + 3x + 2 = 0$，根为$-1$和$-2$，是倍根方程，③正确；
④设方程$ax^2 + bx + c = 0$两根为$t$，$2t$，则$t + 2t=-\frac{b}{a}$，$t=-\frac{b}{3a}$，$t\cdot2t=\frac{c}{a}$，$2t^2=\frac{c}{a}$，$2(-\frac{b}{3a})^2=\frac{c}{a}$，$\frac{2b^2}{9a^2}=\frac{c}{a}$，$2b^2=9ac$，④正确。
正确个数为$3$个，答案选C。