1. 如图,∠ACB= ∠ADB= 90°,要使△ABC≌△BAD,还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上,并在括号内填上判定全等的理由.
(1)
AC=BD
(
HL
)；(2)
BC=AD
(
HL
)；
(3)
∠CAB=∠DBA
(
AAS
)；(4)
∠CBA=∠DAB
(
AAS
).
答案：(1)AC=BD (HL)；
(2)BC=AD (HL)；
(3)∠CAB=∠DBA (AAS)；
(4)∠CBA=∠DAB (AAS)。
2. 如图,点A,B,C在一条直线上,∠A= ∠C= 90°,AB= CD,再增加一个条件
AE=CB（答案不唯一）
,可得△EAB≌△BCD.
答案：可添加的条件为：AE=CB（答案不唯一）。
证明：
在$\triangle EAB$和$\triangle BCD$中，
$\begin{cases}AE = CB,\\\angle A=\angle C = 90^{\circ},\\AB = CD.\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）全等判定定理，可得$\triangle EAB\cong\triangle BCD$。
故答案为：$AE = CB$（答案不唯一）。
3. 如图,在△ABC和△BCD中,∠ACB= ∠DBC= 90°,E是BC的中点,ED⊥AB,垂足为F,且AB= DE.
(1) 求证：BD= CB.
(2) 若BD= 8,求AC的长.
答案：(1)证明：∵ED⊥AB，∴∠EFB=90°，∴∠DEB+∠ABC=90°.
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DEB.
在△ACB和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}∠A=∠DEB\\∠ACB=∠EBD=90°\\AB=DE\end{array}\right.$
∴△ACB≌△EBD(AAS)，∴BD=CB.
(2)∵BD=8，由(1)知BD=CB，∴CB=8.
∵E是BC中点，∴BE=$\frac{1}{2}$CB=4.
∵△ACB≌△EBD，∴AC=BE=4.
(2)AC的长为4.
4. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AD= AC,DE⊥AB,交BC于点E. 若∠B= 28°,则∠AEC= ______°.
59
答案：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，
∴∠CAB=90°-∠B=62°.
∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°.
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
AC=AD，AE=AE，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL）.
∴∠CAE=∠DAE=∠CAB/2=62°/2=31°.
在Rt△ACE中，∠C=90°，∠CAE=31°，
∴∠AEC=90°-∠CAE=90°-31°=59°.
59
5. 已知：如图,点A,D,B,F在一条直线上,AC= FE,AD= FB,∠C= ∠E= 90°.
求证：AC//EF.
答案：证明：
因为$AD=FB$，所以$AD+DB=FB+DB$，即$AB=FD$。
在$\bigtriangleup ACB$和$\bigtriangleup FDE$中，$\begin{cases}AC=FE\\\angle C=\angle E = 90^{\circ}\\AB=FD\end{cases}$
根据“HL”定理，可得$\bigtriangleup ACB\cong\bigtriangleup FDE$。
所以$\angle A=\angle F$。
因为内错角相等，两直线平行，所以$AC// EF$。
