10. (10分)在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形.
要求:每个等腰三角形的一个顶点为格点A,其余顶点从格点B,C,D,E,F,G,H中选取,并且所画的两个三角形不全等.
答案：图①：△ABH（顶点A、B、H）
图②：△ACG（顶点A、C、G）
（注：△ABH中AB=AH=1，BH=2；△ACG中AC=AG=√2，CG=2，两三角形不全等）
11. (12分)如图,在△ABC中,AB= AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,垂足分别为D,E,F,求∠EFC的度数.
答案：∵DE垂直平分AB，E在DE上，∴EA=EB（垂直平分线性质）。
∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，EA=EB，∴∠EAB=∠EBA=45°，即∠BAC=45°。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=(180°-45°)/2=67.5°。
∵AF⊥BC，AB=AC，∴F为BC中点（等腰三角形三线合一）。
∵BE⊥AC，∴△BEC为直角三角形，F为BC中点，∴EF=FC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
在△EFC中，EF=FC，∴∠FEC=∠FCE=∠ACB=67.5°。
∴∠EFC=180°-2×67.5°=45°。
45°
12. (14分)如图,在△ABC中,∠ABE= 2∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD,垂足为E.
(1) 若∠C= 30°,求证:AB= 2BE.
(2) 若∠C≠30°,求证:BE= $\frac{1}{2}$(AC-AB).
答案：(1)证明：∵∠C=30°，∠ABE=2∠C，∴∠ABE=60°.
∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠ABE=30°，
∴BE=1/2AB（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），
∴AB=2BE.
(2)证明：延长BE交AC于点F.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠FAE.
∵BE⊥AD，∴∠AEB=∠AEF=90°.
在△AEB和△AEF中，
∠BAE=∠FAE，AE=AE，∠AEB=∠AEF，
∴△AEB≌△AEF(ASA).
∴AB=AF，BE=EF，∠ABF=∠AFB.
∵∠ABF=2∠C，∴∠AFB=2∠C.
∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠AFB=∠FBC+∠C.
∴2∠C=∠FBC+∠C，∴∠FBC=∠C.
∴BF=FC（等角对等边）.
∵BF=BE+EF=2BE，FC=AC-AF=AC-AB，
∴2BE=AC-AB，
∴BE=1/2(AC-AB).
13. (14分)(1) 如图①,∠C= 90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法,但需保留作图痕迹).
(2) 已知内角大小的两个三角形如图②、图③所示.能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的大小.
答案：(1) 作图痕迹如下：以点C为顶点，利用圆规和直尺作∠ACD=∠A=24°，射线CD交AB于点D，直线CD即为所求（作图痕迹保留）。
(2) 图②能分割，两个等腰三角形顶角分别为132°和84°；图③不能分割。
