要使两个三角形全等，已知$\angle A = \angle F$，$\angle B = \angle E$，符合$AAS$（角角边）或$ASA$（角边角）判定条件。
在$AAS$中，需要两个角及非夹边相等；在$ASA$中，需要两个角及夹边相等。
选项A：$AB = DE$，$AB$是$\triangle ABC$的边，$DE$是$\triangle FED$的边，但$DE$不是$EF$和$FD$的夹边，也不与已知角构成对应关系，所以不能判定全等。
选项B：$BC = EF$，$BC$是$\triangle ABC$的边，$EF$是$\triangle FED$的边，但它们不是对应边，所以不能判定全等。
选项C：$AB = FE$，$AB$是$\angle A$和$\angle B$的夹边，$FE$是$\angle F$和$\angle E$的夹边，满足$ASA$条件，可以判定两个三角形全等。
选项D：$\angle C = \angle D$，虽然两个角相等，但没有边的条件，不能判定两个三角形全等。
因此，正确答案是C。

1. 首先考虑与这个$135^{\circ}$外角相邻的内角。由于一个外角与其相邻的内角之和为$180^{\circ}$，所以这个内角为$180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$。
2. 当$45^{\circ}$角是等腰三角形的顶角时：
设底角为$\alpha$，由于等腰三角形的两底角相等，且三角形内角和为$180^{\circ}$，则$2\alpha + 45^{\circ} = 180^{\circ}$。
解得$\alpha = \frac{180^{\circ} - 45^{\circ}}{2} = 67.5^{\circ}$。
3. 当$45^{\circ}$角是等腰三角形的底角时：
此时底角直接就是$45^{\circ}$，因为题目已经给出了这个角度，且等腰三角形的两底角是相等的。
顶角则为$180^{\circ} - 2 × 45^{\circ} = 90^{\circ}$，但这部分信息题目并未直接询问，只是用于验证这种情况的合理性。
4. 综上所述，等腰三角形的底角可以是$45^{\circ}$或$67.5^{\circ}$。

1. 根据题意，点D在AB的垂直平分线上，因此AD=DB。
2. △BDC的周长为BD+DC+BC。
3. 由于AD=DB，且AC=AD+DC，所以BD+DC=AC。
4. 已知AC=5，BC=4。
5. 因此，△BDC的周长为AC+BC=5+4=9。

∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD是△ABC的中线和高（等腰三角形三线合一），∴BD=CD，AD⊥BC，故③④正确；∵AB=AC，∴∠B=∠C，又BE=CF，BD=CD，∴△EBD≌△FCD（SAS），故②正确；∵△EBD≌△FCD，∴ED=FD，∵AB=AC，BE=CF，∴AE=AF，又AD=AD，∴△AED≌△AFD（SSS），∴∠EDA=∠FDA，即AD平分∠EDF，故①正确。综上，①②③④均正确。

因为△ABC≌△ADE，所以∠B=∠D=100°，∠BAC=∠DAE=30°。
在△ADE中，根据三角形内角和定理，∠AED=180°-∠D-∠DAE=180°-100°-30°=50°。

由折叠性质得BC=BD，∠BDE=∠C=90°；∵D是AB中点，∴AD=DB=AB/2，故BD=AB/2，∴BC=AB/2；在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB/2，∴∠A=30°。

∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB。
∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°。
在Rt△BDC中，∠DBC=18°，∴∠ACB=90°-∠DBC=90°-18°=72°（直角三角形两锐角互余）。
设∠A=x，则∠ABC=∠ACB=(180°-x)/2=72°，解得x=36°。

①对于命题“有一边相等的两个等边三角形全等”：
由于等边三角形的三边都相等，如果两个等边三角形有一边相等，那么它们的三边都相等。
根据$SSS$全等条件，这两个三角形必然全等。
所以命题①是正确的。
②对于命题“腰长相等且都有一个角是$50^\circ$的两个等腰三角形全等”：
如果两个等腰三角形的腰长相等，并且都有一个角是$50^\circ$，
但是这个$50^\circ$的角可能是一个顶角和底角的区别，
所以这两个三角形不一定全等。
因此，命题②是错误的。
③对于命题“各有两边长分别是$5,4$的两个等腰三角形全等”：
两个等腰三角形各有两边长分别是$5$和$4$，
但是并没有明确哪个是腰哪个是底，
所以可能存在$5,5,4$和$4,4,5$两种情况，
因此，这两个三角形不一定全等。
命题③是错误的。
④对于命题“判定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等”：
根据三角形全等的判定条件，无论是$SSS$，$SAS$，$ASA$，还是$AAS$，都至少包含一对对应边相等。
所以命题④是正确的。

∵点P到△ABC三边距离相等，∴P为△ABC内心，即∠ABC、∠ACB平分线交点。∠A=70°，则∠ABC+∠ACB=110°，∠PBC+∠PCB=55°，∠BPC=180°-55°=125°；∵点M到△ABC三个顶点距离相等，∴M为△ABC外心，即外接圆圆心，∠BMC=2∠A=140°。